23.1　回归直线

23.1　回归直线

相关关系的常见形式可表示为y＝f（x）＋ξ，其中f（x）是常见的函数形式，如一次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等，ξ是随机变量.由于随机变量ξ的存在，于是对于每一个值x0，对应的值f（x0）＋ξ无法唯一确定，但是我们知道这些值必定是在确定的值f（x0）的附近摆动.如果反复试验，ξ的平均值应为零.因此f（x0）＋ξ的平均值为f（x0）.也就是说，f（x）＋ξ的值应向f（x）回归.如果能确定y＝f（x）＋ξ中f（x）的解析式，就能从总体上把握变量y与x的关系.这就是回归分析的基本思想.

回归分析中最基本的是一元线性回归，也就是工程技术上和科研中经常遇到的配直线问题.我们先看一个例子：

例1　某种合成纤维的强度与其拉伸倍数之间有一定关系.表23.1所示是测量24个纤维样品的强度y与相应的拉伸倍数x的数据记录.试求出这两个量之间的关系.

由表23.1可见，强度y有随拉伸倍数x的增加而增加的变化趋势，但是它们之间的关系是不确定的.例如，第5号试验与第6号试验、第7号试验与第8号试验、第9号试验与第10号试验、第19号试验与第20号试验，虽然拉伸倍数x相同，但是对应的强度y却不相同.而第4号与第6号试验、第10号与第12号试验等，虽然强度y相同，但是对应的拉伸倍数x却不相同.可见强度y与拉伸倍数x之间不存在通常的函数关系.

为了探索变量x与y之间的内在联系，根据表23.1中的24对数据（xi，yi），i＝1，2，3，…，24，在平面直角坐标系中描出对应的24个点，见图23.1.这张图称为散点图.图中的这些点看起来比较散乱，但是大致分布在某条直线的附近.因此，强度y与拉伸倍数x之间的关系可以表示为(https://www.daowen.com)

为了与强度的实际值y加以区别，这里在y上方加一个记号“∧”表示y的拟合值或回归值，而与x之间并不具有函数关系.，表示未知参数a，b的估计.

在散点图的启发下，变量与x之间的关系已经确定，是一次函数关系；由于一次函数的图像是一条直线，因此通常称为线性关系.只要求出公式中参数的估计值与，就可完全确定此关系式.其中是直线在y轴上的截距，是直线的斜率，又称为回归系数，而关系式＝＋则被叫做回归方程或回归直线.