怎样帮助孩子学好数学
唐盛昌
一、 帮助孩子学好数学：注重数学能力与数学素养的培养
数学能力和数学素养离不开数学内容。数学这门学科如今已经太广博、太复杂、也太专业化了，即使是中小学教的数学内容也是极其丰富的。比如对学龄前的孩子来说，他会遇到“数”的概念。
当我们说一个杯子、两个杯子时，杯子是具体的，一个两个杯子也是具体的，但数字是抽象的概念，数字1、2、3是看不见摸不着的。所以对于这个年龄段的孩子来说，一个杯子是可以理解的，但是1是抽象的概念，对他们的思维要求就比较高。另外，数除了可以代表数量，还可以代表数序。比如第一和第二，数量和数序实际上是不一样的。从学生较易理解的整数出发，一直到实数、复数，从数系、代数一直到结构，但当人们要给数下一个逻辑定义时，难度之大竟然超乎想象。
除了数以外，还有很多重要的数学概念，比如空间概念。数学教学中，体系是从数轴到平面再到三维空间。而事实上，孩子日常生活中首先接触到的是立体的三维的概念。而从数轴，到平面坐标，到三维坐标，由简单到复杂，从教的角度看，循序渐进，但与学生的实际体验却并不完全一致。当学生进一步学习时，长度、方向出现了，角、斜率、曲率等概念出现了。再比如，数学运算，从最基础的数字运算到代数式的运算，到函数运算、集合运算，从常量到变量，从有限到无限，从具体的运算一直到运算律等，在这样逐步深入的学习过程中，学生对数学逐渐有了了解与感觉，能力不断提高，数学素养逐步形成。
所以孩子真正学习数学，并不只是会数数，也绝不是通过解答习题就可以培养起来的。
数学能力与数学素养也离不开数学思维。数学思维是分层次的，对不同年龄段的孩子的思维能力要求也是不一样的。
三到五岁的学龄前儿童还未达到抽象运算的程度，这时还无法挑战较高的思维运算问题，否则就会欲速则不达。这个阶段首先要让孩子感受到从具体到抽象的过程，比如，不要问孩子3+5等于几，可以给孩子3块积木加上5块积木，让他自己去感觉摸索。
在小学阶段，学生应该掌握一定的运算法则。这个时期，记忆力起到了很重要的作用。但单靠记忆力，到了一定的学习阶段就不能解决问题了。
在初中阶段，数学能力表现为逻辑思维能力，包括分类、归纳、演绎等逻辑思维能力。所以我们也就不难理解有些孩子小学数学很好，到了初中却不一定好的原因了。
高中数学对逻辑思维能力的要求更强，需要学生对数学理解更深刻，能整体把握问题。学习排列组合、概率初步是最难的，需要学生具备较好的整体把握能力和较高的思维严密性，立体几何、解析几何则需要空间想象能力。
大学以后对学生的数学能力有了更高的要求，既要具备深刻性，还需要创新性。
所以学生不同年龄段，数学思维要求不一样。
我们看到了数学教学内容的发展系列与学生数学思维能力的发展系列。正是在两个系列的交互作用与双螺旋上升的过程中，学生的数学能力与数学素养得到了发展。数学内容是数学思维能力发展的基础与载体，数学思维能力的发展是学习数学内容的必然与必需。数学素养是数学学习与能力发展的内化，也是数学应用与数字水平的表征。
数学能力和数学素养的培养存在着因人而异、因材施教的问题，数学学习中不可或缺的逻辑思维能力、空间想象能力与运算能力，不同的学生水平不尽相同。这里有男女生的性别差异，有优势智能的个性差异，有学习过程中逐渐积累的数学基础差异，也有学习兴趣与学习动力等非智力因素方面的差异，只有搞清原因，对症下药，才可能通过数学内容学习与数学思维的发展，在提升数学能力与数学素养方面取得更好的效果。
对于教师和家长来说，要保护好孩子的数学学习兴趣，不能轻易对孩子说你不行，要让他们在数学学习中有更多的尝试。
要防止过早筛选的倾向，如男生记忆力的普遍特点是机械记忆不强，而理解记忆强。如果我们小学阶段的题目偏向于机械记忆，就会把一批本来有数学天分的孩子淘汰掉。我们只知道他们是在小学阶段数学没学好的孩子，而没有意识到他们只是思维特点不匹配。这是我们家长和教育工作者都要注意的。
二、 发现孩子的数学天分：思维的跳跃性和缜密性的有效结合是一个观察点
我们要明确，对孩子早期能力的识别是一件非常困难的工作，同时也是世界性的难题。期望通过一种明确的方法或者测试来判断是不现实的。在承认这一点的基础上，基于我从实践视角的多年研究，数学学习能力较强的孩子往往体现为思维的跳跃性和缜密性的完美结合。
这些孩子都具有一种比较强的数学想象能力，他们能突破原有思维框架，找出新的问题解决思路和方法。比如面对一个数学问题，有时候数学能力强的孩子会有一种直觉，让他们可以跳过很多逻辑推导的步骤，一下子看到不同概念之间的内在联系，从而迅速推导出结论。这种思维跳跃而且能够跳得正确的能力，就是一种数学学习能力的天分。
当然，孩子们是多样化的，有些孩子在数学领域有天分，有些孩子在其他领域有天分。并且，有天分的孩子也并不一定就会做出成就，还需要其他的因素，尤其是良好的意志品质。比如在碰到数学问题时是持之以恒地探索，或者进行思维跳跃，还是碰到困难就放弃了？如果是后者，即使具有很好的数学天赋，成果还是出不来的。(https://www.daowen.com)
我们要发现孩子的数学天分，目的还是为了因材施教。家长首先要认清自己孩子对数学的学习兴趣与学习能力，从而对孩子提出适当的学习要求。比如，对于有数学学习天分的孩子，应该创造环境来培养其数学学习能力；对于一些不喜欢数学或对数学不敏感的孩子，家长要做到“扬长”“平短”。比如对空间概念不敏感的孩子，家长可以用魔方玩具等培养其空间想象能力。
大多数孩子只要教育得当，都可以达到我们基础教育的数学课程标准要求。从我们多年的实践经验看，真正适宜学习奥数的孩子比例是很低的，应该不超过百分之一二。
三、 家长要避免两大误区：提前灌输后续知识、片面追求解题技巧
在这里我想强调家长在子女数学学习中的作用。
对家长来说，应该更多地花力气在培养孩子数学学习的意志品质上，督促孩子提高学习效率，引导孩子养成正确的学习态度，让孩子有效地学习。
我不赞同家长盲目送孩子到课外辅导机构上课，也不赞同提前向孩子灌输具体的数学知识，这往往也是很多课外教学机构的误区。
数学学科是一个系统的学科体系，具有内在的结构。同时数学教学体系的编写过程和学生思维发展过程是相匹配的，如果我们揠苗助长，盲目把认知链条打破打乱，既不利于数学内容的学习，也不利于数学思维的发展。
首先，每一个学段中学习的基本概念要正确，基本技能要掌握。很多家长看到孩子在某个地方总是做错，会认为这是“粗心”，其实很多情况下，这不是粗心，而是因为孩子在幼儿园或小学最初接触这个概念或运算的时候发生了偏差，但这些模糊的意识盘踞在大脑中，很难纠正。这样的“粗心大意”就很难改掉。
其次，过早让孩子学习后续的数学内容会压缩孩子未来在数学方面拓展的空间。对于数学知识的进一步教学有两种，一种是从一个概念到类似概念的延伸和拓展，还有一种是将学生后续的数学思路提前教授。这些都是一些课外教学机构和家长的做法。例如鸡兔同笼的问题，用小学算术的方法解答是比较难的，但是如果学过二元一次方程组，就变得非常容易。又如数正方形，没有学过排列组合的时候非常难，但如果使用排列组合就变得非常容易。在学习二元一次方程、排列组合之前，如果没有得当的引导，没有原理的分析，这类题目只会让孩子付出大量的劳动，产生负面作用，把脑子搞乱。
再次，数学学习会涉及一些解题技巧，但切不可超限，比如学分数运算时，把数列求和中运用消元思想的一些方法也引进来，这实际上反而冲淡了学生对分数运算基本规律的掌握。
四、 优秀的数学教师要做到：了解数学整体架构、引导学生更深刻理解数学
教育是人学，是对人的理解和尊重。教育的对象是有差异的学生，所以我想强调教师因材施教的巨大作用。
数学发展到今天，已经成为一门非常系统的科学，这门科学有其自身的结构。我们无法将这种结构直接拿给学生，所以就产生了数学的教学结构。由数学的教育教学专家、心理专家和学科的专家结合起来，一起将不同年龄段学生应该学习的数学知识、体系、学习顺序安排好，这就是我们的教学结构。
我认为每位教师首先需要提高自身的专业素养，需要知道的不只是一个个具体的知识，而是要了解数学整体架构是如何组成的，某个知识点在这个整体架构中有怎样的地位，重要性在哪里，有哪些应用。这是非常高的数学教学专业知识的要求，不是只会解题就可以的。
教师教学生做题的过程中，重要的不只是解题方法，还要激发学生对数学内在规律和联系的认识，这是非常高的数学教学模式与方法的要求，这样学生才能真正将数学学好。
优秀的教师能对学生的学习情况诊断清楚并对症下药，比如通过学生提问进行诊断，教师发现学生在哪里卡住了，然后进行个性化的分析，解决具体问题。对数学拔尖的学生，优秀教师能根据学生的特点引导学生探究，进行思想火花的碰撞，激发他们的学习动机。这是因材施教指导学生的要求。
不善于解惑与启发的教师，不可能教出真正优秀的学生。
对教师更高的要求是传道。数学教学不应只是单纯的学科教学，数学中蕴含着太多人类思维的结晶，有着太多思想与方法的突破，有着深刻与浩瀚的应用和实践。当我们在教授数学的过程中，能够把数学背后的内涵与外延也传递给学生，真正从立德树人的高度教书育人，数学教学才可能从必然王国进入自由王国。这正是我们共同追求的教学境界。
上海市数学特级教师，正高级教师。毕业于上海师范大学数学系。现任复旦大学附属中学数学教研组组长，兼任上海市名师名校长工程中学数学基地主持人，上海市教师学研究会数学专业委员会副主任，上海市教育学会中小学数学专业委员会委员，上海市数学会理事，上海市普教系统高级教师评审委员会委员，上海师范大学特聘教授，复旦大学高等教育研究所特聘教授，中国数学奥林匹克高级教练员。主编及参与编写《名师成长与教学创新——中学数学学科特色提炼专辑(3)》等，发表《在排列组合复习课中进行逆向再思考》等多篇论文。