2.2.1 利用导数的定义解题（例2.1—2.7）
例2.1（北京市1994年竞赛题） 设函数f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对任意x都有f（x+1）=2f（x），且当0≤x≤1时f（x）=x（1-x2），试判断在x=0处函数f（x）是否可导.
解析 当-1≤x＜0时有0≤x+1＜1，故
由于
，故f（x）在x=0处不可导.
例2.2（江苏省2000年竞赛题） 设f（x）可导，F（x）=f（x）（1+|sinx|），欲使F（x）在x=0可导，则必有（ ）
A.f′（0）=0 B.f（0）=0
C.f（0）+f′（0）=0 D.f（0）-f′（0）=0
解析 由导数的定义，有
因为
，所以要使上式右端极限存在，必须f（0）=0.故选B.
例2.3（北京市1991年竞赛题） 设f是可导函数，对于任意实数s，t有
f（s+t）=f（s）+f（t）+2st
且f′（0）=1，求函数f的表达式.
解析 令s=0，得
f（0+t）-f（0）=f（t）⇒f（0）=0
故
积分得f（s）=s2+s+c，由f（0）=0得c=0.于是f（s）=s2+s.
例2.4（精选题） 设
，求f（x），并讨论f（x）的连续性与可导性.
解析 根据题意，有f（1）=
（1+a+b），且当x＞1时f（x）=x2，当x＜1时f（x）=ax+b.则当x≠1时，f（1-）=a+b，f（1+）=1.故当a+b=
（1+a+b）=1，即a+b=1时f在x=1时连续，且f（1）=1.
又
于是仅当a=2，b=-1时，f在x=1处可导.
例2.5（江苏省2006年竞赛题） 设
试问a，b，c为何值时，f（x）在x=0处一阶导数连续，但二阶导数不存在？
解析 因f（0-）=c，f（0+）=0，f（0）=c，又f（x）在x=0连续，所以c=0.由(https://www.daowen.com)
所以b=1，且
因f′（0-）=1，f′（0+）=1，f′（0）=1，故b=1，c=0时f′（x）在x=0处连续.
又
则当2a≠-1，即a≠-
时f（x）在x=0处二阶不可导.
综上，a≠-
，b=1，c=0为所求之值.
例2.6（江苏省1994年竞赛题） 已知f（0）=0，f′（0）存在，求
解析 因f（0）=0，f′（0）存在，所以
这里k=1，2，…，n.于是n→∞时
例2.7（全国大学生2009年初赛题） 设f（x）是连续函数，又
且 
（A为常数）
求g′（x），并讨论g′（x）在x=0处的连续性.
解析 首先由
可得
当x≠0时，令xt=u，则
求导数得
当x=0时，利用导数的定义与洛必达法则，可得
由于
所以g′（x）在x=0处连续.
