2.2.2 利用求导法则解题（例2.8—2.15）
例2.8（江苏省2008年竞赛题） 已知f（x）=x（x-1）（x-2）…（x-100），则f′（50）=________.
解析 因为
f′（x）=（x-1）（x-2）…（x-100）+x（x-2）…（x-100）+…
+x（x-1）…（x-48）（x-50）…（x-100）
+x（x-1）…（x-49）（x-51）…（x-100）
+x（x-1）…（x-50）（x-52）…（x-100）+…
+x（x-1）…（x-99）
所以
f′（50）=50·49·…·1·（-1）·（-2）·…·（-50）
=（-1）50（50！）2=（50！）2
例2.9（江苏省1996年竞赛题） 若f（x）=x（2x-1）（3x-2）…（100x-99），则f′（0）=________.
解析 记u（x）=x，v（x）=（2x-1）（3x-2）…（100x-99），则f（x）=u（x）v（x）.因u′（0）=1，u（0）=0，v（0）=-99！，所以
f′（0）=u′（0）v（0）+u（0）v′（0）=-99！
例2.10（北京市1993年竞赛题） 设函数f（u）在-∞＜u＜+∞内可导，且f（0）=0，又
求出f（u）（-∞＜u＜+∞）的表达式.
解析 令lnx=u，则
积分得
由于f（0）=0，所以c1=0，c2=-2，于是
例2.11（江苏省1996年竞赛题） 设当x=0时
f′（0）≠0，则f（0）=________.
解析 应用复合函数求导法则，有
令x=0，得f′（0）=2f（0）f′（0）.因f′（0）≠0，所以f（0）=
例2.12（浙江省2003年竞赛题） 求
解析 应用二项式定理，有
两边求导得
两边乘以x后再求导得
(https://www.daowen.com)
令x=1得
化简得
于是
例2.13（莫斯科建筑工程学院1997年竞赛题） 设f（x）在（-∞，+∞）上可导.若f（x）为奇函数，求证f′（x）为偶函数；若f（x）为偶函数，求证f′（x）为奇函数.此命题的逆命题是否正确？
解析 因
f（-x）=-f（x）⇒-f′（-x）=-f′（x）⇒f′（-x）=f′（x）
f（-x）=f（x）⇒-f′（-x）=f′（x）⇒f′（-x）=-f′（x）
所以奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数.
但偶函数的原函数不一定为奇函数.例如（1+sinx）′=cosx，这里偶函数cosx的原函数1+sinx并非奇函数.奇函数f（x）的原函数可写为
由于
故奇函数的原函数一定为偶函数.
例2.14（江苏省1998年竞赛题） 函数f（x）=（x2+3x+2）|x3-x|的不可导点的个数为___________.
解析 令u（x）=x2+3x+2，v（x）=|x3-x|，则u（x）处处可导，而v（x）在x=-1，0，1处不可导，在其他点处处可导.u（-1）=0，u（0）=2，u（1）=6.
（-1）=-2，
（-1）=2；
（0）=-1
（0）=1；
（1）=-2，
（1）=2.因f（x）=u（x）v（x），又因为
（x）=u′（x），则
（x）=u′（x）v（x）+u（x）
（x），
x）=u′（x）v（x）+u（x）
（x）
令x=-1，0，1分别代入上式得
所以f（x）在x=-1处可导，f′（-1）=0.f（x）在x=0和x=1处左、右导数不相等，所以f（x）在x=0与x=1处不可导，其他点处处可导.于是f（x）有2个不可导点.
例2.15（南京大学1996年竞赛题） 证明：两条心脏线ρ=a（1+cosθ）与ρ=a（1-cosθ）在交点处的切线互相垂直.
解析 曲线ρ=a（1+cosθ）化为参数方程为
x=a（1+cosθ）cosθ，y=a（1+cosθ）sinθ
其斜率为
曲线ρ=a（1-cosθ）化为参数方程为
x=a（1-cosθ）cosθ，y=a（1-cosθ）sinθ
其斜率为
再求两曲线的交点.由
解得cosθ=0，于是交点的极坐标为
在
，因为k1k2=-1，所以两曲线在交点
处的切线互相垂直.
在
，因为k1k2=-1，所以两曲线在交点
处的切线互相垂直.
