3.2.6 定积分的计算（例3.49—3.67）
例3.49（江苏省1998年竞赛题） 设连续函数f（x）满足
求f（x）.
解析 设A=
，则f（x）=x+Ax2+Bx3，所以
由上述两式解出A=
，B=-1，于是f（x）=x+
x2-x3.
例3.50（江苏省2008年竞赛题） 
=________________________.
例3.51（江苏省2000年竞赛题） 设
求
解析 令x-1=t，则
例3.52（南京大学1993年竞赛题） 
=________.
解析 分部积分，则
例3.53（南京大学1995年竞赛题） 
=________.
解析 作换元变换，令xn=tant，则
故
例3.54（江苏省2006年竞赛题） 求
令
可解得
，则
故原式=
例3.55（江苏省2006年竞赛题） 
=_________.
解析 令arctanx=t，作换元变换，则
例3.56（江苏省1994年竞赛题） 已知f（x）=
，求
解析 因为
应用分部积分法得（因f（1）=0）
例3.57（江苏省1996年竞赛题） 设f（t）=
，求
解析 因为f′（t）=
，f（1）=0，分部积分得
例3.58（江苏省2002年竞赛题） 求
例3.59（江苏省2002年竞赛题） 求
例3.60（江苏省1996年竞赛题） 若f（u）是连续函数，证明
，并求
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解析 作积分变换，令x=π-t，则
于是
应用此公式，则
例3.61（北京市2000年、浙江省2002年竞赛题） 求积分
解析 应用定积分分部积分公式，有
例3.62（北京市1990年竞赛题） 求I=
，n∈N.
解析 由于
，应用定积分换元法和周期函数的定积分性质，有
例3.63（北京市1990年竞赛题） 求积分
解析 因为
例3.64（浙江省2004年竞赛题） 计算
解析 令x=
+t，则运用基本积分公式与奇函数的定积分性质，有
例3.65（江苏省2000年竞赛题） 设可微函数f（x）在x＞0上有定义，其反函数为g（x）且满足
，试求f（x）.
解析 在原式中令f（x）=1得
-8=0，解得x=4，即f（4）=1.设t=f（x），反函数为x=f-1（t），故g（t）=f-1（t），则
于是
两边对x求导得
积分得f（x）=
+C，由1=2+C，解得C=-1，于是所求函数为
例3.66（南京大学1995年竞赛题）
（1）证明：
（2）计算：
解析 （1）令x=
，则
例3.67（精选题） 设F（a）=
，求F（-a），F（a2）.
解析 作定积分的换元变换，令x=π-t，则
由于F（-a）=F（a），所以
比较（1）与（2）式即得F（a2）=2F（a）.
