3.2.4 应用积分中值定理解题（例3.27—3.32）
例3.27（北京市1993年竞赛题） 设函数f（x）在［a，b］上连续且非负，M是f（x）在［a，b］上的最大值，求证：
解析 设f（ξ）=M=
（1）若ξ∈（a，b），则存在N∈N，当n＞N时，
⊂［a，b］.应用积分中值定理，存在
使
由于f（x）连续，
=ξ及
运用夹逼准则得
（2）当ξ=a或ξ=b时证明是类似的，这里从略.
例3.28（北京市1997年竞赛题） 设函数f（x）在区间［a，b］上具有连续导数，证明：
解析 n等分区间［a，b］，分点分别为a=x0＜x1＜…＜xn-1＜xn=b；记h=
，则xk=a+kh（k=1，…，n）.因此，上式
其中ξk∈（xk-1，xk），ηk∈（ξk，xk）.
例3.29（南京大学1995年竞赛题） 已知f（x）∈C［0，1］，b＞a＞0，求
解析 应用积分中值定理，∃ξ∈（aε，bε），使得
例3.30（莫斯科民族友谊大学1977年竞赛题） 设f（x）在［a，b］上连续，对一切α，β（a≤α＜β≤b），有
其中M，δ为正常数.求证：f（x）≡0，x∈［a，b］.
解析 ∀x0∈［a，b］，应用积分中值定理，有
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这里x0+h∈［a，b］，h≠0，0＜θ＜1，所以
由于M＞0，δ＞0，
，且f（x）在x0处连续，得
由x0∈［a，b］的任意性得f（x）≡0，x∈［a，b］.
例3.31（江苏省1991年竞赛题） 设f（x）为［0，+∞）上单调减少的连续函数，试证明：
≥0.
解析 记F（x）=
，则
应用积分中值定理，必存在ξ∈（0，x），使得
=f（ξ）x，于是
F′（x）=2x2（f（ξ）-f（x））
由于f（x）在［0，+∞）上单调减少，故f（ξ）≥f（x），从而F′（x）≥0，所以F（x）在［0，+∞）上单调增，又F（0）=0，故F（x）≥0.
例3.32（莫斯科电气学院1977年竞赛题） 设φi（x）∈C［a，b］，其中i=1，2，3，…，且
=1，求证：∃N∈N及常数ci（i=1，2，…，N），使得
解析 取N∈N，且N＞10000（b-a），则
应用积分中值定理，∃ξ∈（a，b），使得
取
则
=1.且由（1），（2）两式可得
于是
