3.2.9 积分等式的证明（例3.108—3.111）
例3.108（精选题） 设f（x）在［a，b］上具有连续的2阶导数，且f′（a）=f′（b）=0，求证：∃ξ∈（a，b），使得
解析 令F（x）=
，则F′（x）=f（x），F″（x）=f′（x），F‴（x）=f″（x），且F（a）=0，F″（a）=F″（b）=0.函数F（x）在x=a处的2阶泰勒展式为
这里ξ1介于a与x之间.令x=b得
这里a＜ξ2＜b.函数F（x）在x=b处的2阶泰勒展式为
这里η1介于x与b之间.令x=a得
这里a＜η2＜b.（1）式减（2）式，得
若f″（ξ2）=f″（η2），则ξ=ξ2或ξ=η2，代入（3）式即得原式；若f″（ξ2）≠f″（η2），由于f″（x）在［a，b］上连续，由最值定理，f″（x）在［a，b］上有最大值M与最小值m，则
再应用介值定理，∃ξ∈（a，b），使得
于是有
例3.109（精选题） 设函数f（x）在闭区间［a，b］上具有连续的2阶导数，求证：∃ξ∈（a，b），使得
解析 令F（x）=
则F′（x）=f（x），F″（x）=f′（x），F‴（x）=f″（x），且F（a）=0.F（x）在x=
处的2阶泰勒展式为
这里ξ1介于x与
之间.在（1）式中令x=a，得
这里a＜ξ2＜
在（1）式中令x=b，得
这里
＜ξ3＜b.（3）式减去（2）式，得
由于f″（x）在［a，b］上连续，由最值定理，f″（x）在［ξ2，ξ3］上有最大值M与最小值m，则
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再应用介值定理，∃ξ∈（ξ2，ξ3）⊂（a，b），使得
于是有
例3.110（莫斯科民族友谊大学1977年竞赛题） 设函数f（x）在［0，1］上连续，求证
解析 因f（x）在［0，1］上连续，所以|f（x）|在［0，1］上连续，应用最值定理，∃x0∈［0，1］，使得
于是
因为|f（x）|在x0处连续，所以∀ε＞0，∃δ＞0，当x∈［α，β］（0≤α≤x0≤β≤1，β-α=δ）时，|f（x）|≥M-ε，于是
因
=δ0=1，故∀ε＞0，∃N∈N，当n＞N时
≥1-ε，于是n＞N时
由ε＞0的任意性，即得
例3.111（全国大学生2012年决赛题）
（1）求解微分方程
（2）如果y=f（x）为上述方程的解，证明
解析 （1）这是一阶线性非齐次方程，易于求得解为
（过程从略）.
（2）对函数f（x）=ex2在区间［0，x］（0≤x≤1）上应用拉格朗日中值定理，必∃ξ∈（0，x），使得f（x）-f（0）=f′（ξ）x，即
于是
应用定积分的保号性，有
由于
再应用夹逼准则，得
