4.1.1　二元函数的极限与连续性

4.1.1　二元函数的极限与连续性

1）二元函数极限的定义

设二元函数f（x，y）在（a，b）的某去心邻域U。内有定义，若∀ε＞0，∃δ＞0，当0＜＜δ时恒有

|f（x，y）-A|＜ε

则称

2）在二元函数极限的定义中，动点（x，y）在（a，b）的邻近以任意路径趋向于点（a，b）时，函数值f（x，y）与固定常数A需任意地接近.这些任意路径是不可能一一取到的.若取两条不同的路径让（x，y）→（a，b），而f（x，y）取不同的极限，则可推知：（x，y）→（a，b）时f（x，y）的极限不存在.(https://www.daowen.com)

通常求二元函数极限的方法如下：（1）利用定义求极限；（2）在（x，y）→（0，0）时化为极坐标求极限，即（x，y）→（0，0）⇔ρ→0；（3）化为一元函数的极限；（4）利用无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量；（5）利用夹逼准则求极限.

3）二元函数的连续性：若

则称f（x，y）在（a，b）内连续.

定理　多元初等函数在其定义域上每一点皆连续.

4）有界闭域上的连续函数的性质：若f（x，y）在有界闭域D上连续，则f（x，y）在D上为有界函数，f（x，y）在D上取到最大值与最小值.