4.1.2　偏导数与全微分

1）偏导数的定义

这两式右端的极限存在，称f在（a，b）处可偏导.

这两式右端的极限存在，称f在（0，0）处可偏导.

2）f（x，y）在（a，b）处可偏导时，f（x，y）在（a，b）处不一定连续.

3）偏导数的几何意义

当f在（a，b）处对x可偏导时，（a，b）表示曲线在（a，b）的切线对x轴的斜率；

当f在（a，b）处对y可偏导时，（a，b）表示曲线在（a，b）的切线对y轴的斜率.

4）全微分的定义：若f（x，y）在（a，b）的全增量Δf（x，y）可写为(https://www.daowen.com)

Δf（x，y）=f（a+Δx，b+Δy）-f（a，b）=AΔx+BΔy+o（ρ）　（1）

这里ρ=，则称f（x，y）在（a，b）处可微.

当f（x，y）在（a，b）处可微时，f（x，y）在（a，b）处必可偏导，且（1）式中A=（a，b），B=（a，b）.

当f（x，y）在（a，b）处可微时，f（x，y）在（a，b）处必连续.

当（x，y），（x，y）在（a，b）处连续时，f（x，y）在（a，b）处必可微（此时称f在（a，b）处连续可微）.

当f（x，y）在（a，b）处可微时，称

为f（x，y）在（a，b）处的全微分；当f（x，y）在（x，y）处可微时，称

为f（x，y）的全微分.

由于多元初等函数的偏导数仍是多元初等函数，所以多元初等函数在其可偏导处必偏导数连续，因而必可微，其全微分公式（2）与（3）可直接使用.