4.2.4 求高阶偏导数（例4.21—4.30）
例4.21（全国大学生2010年初赛题） 已知函数f（x）有二阶连续导数，设r
解析 应用复合函数求偏导数法则得
应用对称性得
于是
例4.22（浙江省2009年竞赛题） 设g二阶可导，f具有二阶连续偏导数，z=g（xf（x+y，2y）），求
=_________.
解析 应用多元复合函数的链锁法则，有
即
例4.23（北京市1990年竞赛题） 设函数u=
满足
试求函数f的表达式.
解析 令t=
ln（x2+y2），则
同理可得
代入原方程得
即得f″（t）=
=e5t，积分两次得
例4.24（江苏省1998年竞赛题） 已知函数f（x，y）的二阶偏导数皆连续，且
试求
（x，2x）与
（x，2x）.
解析 在等式f（x，2x）=x2两边对x求全导数得
（x，2x）+2
（x，2x）=2x
两边再对x求全导数得
由条件得
在
（x，2x）=x两边对x求全导数得
将上两式联立解得
例4.25（江苏省2008年竞赛题） 已知函数u（x，y）具有连续的二阶偏导数，算子A定义为A（u）=
求A（u-A（u））；（2）利用结论（1），以ξ=
，η=x-y为新的自变量，改变方程
的形式.
（2）由
=0⇔A（u-A（u））=0，又
于是原方程化为
=0.
例4.26（精选题） 设函数u=u（x，y）有连续的二阶偏导数，且满足方程
（1）用变量代换ξ=x-y，η=x+y将上述方程化为以ξ，η为自变量的方程；
（2）已知u（x，2x）=x
（x，2x）=x2，求u（x，y）.
解析 （1）div（gradu）=
，于是原方程化为
由于
将（2）式与（3）式代入（1）式得
=0.
（2）将方程
=0两边对η积分得
此式两边对ξ积分得
u=∫φ（ξ）dξ+g（η）=f（ξ）+g（η）
这里f，g为任意可微函数.于是(https://www.daowen.com)
u（x，y）=f（x-y）+g（x+y） （4）
由条件u（x，2x）=x得
f（-x）+g（3x）=x （5）
（4）式两边对x求偏，导得
=f′（x-y）+g′（x+y）
由条件
（x，2x）=x2得
（x，2x）=f′（-x）+g′（3x）=x2 （6）
（6）式两边对x积分得
-3f（-x）+g（3x）=x3+C （7）
联立（5）式与（7）式解得
由此可得
于是由（4）式可得所求函数为
例4.27（北京市2002年竞赛题） 设函数z=f（x，y）具有二阶连续偏导数，且
≠0，证明：对任意常数C，f（x，y）=C为一直线的充要条件是
解析 先证必要性.若f（x，y）=C为一直线，则
均为常数，故
=
=0，从而等式成立.
再证充分性.设由f（x，y）=C确定隐函数y=y（x），于是f（x，y（x））≡0.两边对x求导得
两边再对x求导得
因为
代入上式得
由条件得
积分得y=C1x+C2（C1，C2为常数），从而f（x，y）=0为一直线.
例4.28（全国大学生2011年初赛题） 设z=z（x，y）是由方程
确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数，求证：
解析 记f（x，y，z）=
，应用隐函数求偏导数法则有
于是
此式两端分别对x，y求偏导数得
（1）式乘x加上（2）式乘y得
例4.29（南京大学1995年竞赛题） 若
解析 因u=1+
，所以
由于
所以
例4.30（清华大学1985年竞赛题） 求
对x的n阶导数.
解析 令fk（x）=
，则
应用莱布尼兹公式[1]得
（x）=
=fk-1（x），于是
由于
，所以
