4.2.2 二元函数的连续性、可偏导性与可微性（例4.3—4.8）
例4.3（江苏省2000年竞赛题） 若
和
都存在，则f（x，y）在（x0，y0）（ ）
A.极限存在但不一定连续 B.极限存在且连续
C.沿任意方向的方向导数存在 D.极限不一定存在，也不一定连续
解析 应用二元函数在某点极限存在与可偏导之间无因果关系的结论，A，B皆错.C显见是错的，故选D.
例4.4（江苏省2008年竞赛题） 设
试讨论f（x，y）在（0，0）处的连续性、可偏导性、可微性.
解析 由于
所以
（x，y）≠0=f（0，0），于是f（x，y）在（0，0）处不连续.
由于
皆不存在，故f（x，y）在（0，0）处不可偏导.
由于连续性与可偏导性皆是可微性的必要条件，故f（x，y）在（0，0）处不可微.
例4.5（江苏省2002年竞赛题） 设
试讨论f（x，y）在点（0，0）的连续性、可偏导性与可微性.
解析 因
有界，所以
故f（x，y）在（0，0）处连续.因为
所以f（x，y）在（0，0）处可偏导.
下面考虑可微性.令
Δf（0，0）=f（x，y）-f（0，0）=
（0，0）x+
（0，0）y+ω
则ρ=
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所以ω=o（ρ），故f（x，y）在（0，0）处可微.
例4.6（江苏省2006年竞赛题） 设
证明f（x，y）在（0，0）处可微，并求df（x，y）
（0，0）.
解析 根据题意可得
令
因
所以f在（0，0）处可微，且df（x，y）
（0，0）=dx-dy.
例4.7（江苏省2000年竞赛题） 已知z=uv，且x=eucosv，y=eusinv，求
和
解析 由x=eucosv，y=eusinv解得
于是z=uv=
ln（x2+y2）arctan
，因此
例4.8（江苏省1996年竞赛题） 函数u=xy2z3在点（1，2，-1）处沿曲面x2+y2=5的外法向的方向导数为________.
解析 已知F=x2+y2-5，n=2（x，y，0），点P（1，2，-1），故曲面在点P的外法向的方向余弦为
又因
于是
