5.2.2 交换二次积分的次序（例5.17—5.26）
例5.17（江苏省2000年竞赛题） 交换二次积分的次序：
f（x，y）dy=________.
解析 由x=0，x=1，y=x2，y=3-x所围的积分区域如图所示，则交换积分次序得
例5.18（江苏省2012年竞赛题） 交换二次积分
的顺序.
解析 由x=0，x=
，y=0，y=2cosx所围的积分区域如右图所示，交换积分顺序得
例5.19（精选题） 设f（x）连续可导，a＞0，求
解析 交换二次积分的次序，有
例5.20（江苏省2004年竞赛题） 求二次积分
解析 如右图，在（θ，ρ）平面上交换积分次序，有
例5.21（北京市1996年竞赛题） 设f（x）为连续偶函数，试证明：
其中D为正方形|x|≤a，|y|≤a（a＞0）.
解析 根据题意，有
参看下图，变换积分顺序，上式化为
因为f（x）为偶函数，有
故
例5.22（北京市1994年竞赛题） 设f（x，y）是定义在区域0≤x≤1，0≤y≤1上的二元函数，f（0，0）=0，且在点（0，0）处f（x，y）可微，求极限
解析 交换积分次序，有
应用洛必达法则与积分中值定理，则
由于f（x，y）在（0，0）处可微，f（0，0）=0，及ξ（x）=o（x），所以
因此(https://www.daowen.com)
例5.23（江苏省2008年竞赛题） 求
解析 交换积分次序，有
两次应用洛必达法则和积分变换，则
例5.24（精选题） 设x≥0，f0（x）＞0，若fn（x）=
（t）dt（n=1，2，3，…），求证：
解析 用数学归纳法证明.当n=1时
所以（＊）1成立.假设（＊）k成立，即
则
所以（＊）k+1成立，因此（＊）n对任意正整数n成立.
例5.25（精选题） 设f（x）连续，D=
求证
解析 二重积分化为二次积分得
对于含参数y的定积分
f（x-y）dx，令x-y=t，则
将（2）式代入（1）式得
交换（3）式右端二次积分的次序，有
例5.26（精选题） 设D：x2+y2≤1，f（x，y）在D上连续.
（1）求证：
（2）求
解析 （1）作换元变换，令x=u，y=v，则D化为D1：u2+v2≤1，有
对上式右端的二重积分再作换元变换，令u=y，v=x，则D1化为D：y2+x2≤1，有
于是原式成立.
（2）利用（1）的结论得
于是
