5.2.3　三重积分的计算（例5.27—5.31）

5.2.3　三重积分的计算（例5.27—5.31）

例5.27（南京大学1996年竞赛题）　设f（x）连续，f（0）=k，Vt由0≤z≤k，x2+y2≤t2确定，试求，其中F（t）=

解析　记D：x2+y2≤t2，则

故

例5.28（江苏省2006年竞赛题）　曲线绕z轴旋转一周生成的曲面与z=1，z=2所围成的立体区域记为Ω.

（1）求（x2+y2+z2）dxdydz；

（2）求

解析　曲面方程为x2+y2=2z，记D（z）：x2+y2≤

（1）方法1

方法2

例5.29（南京大学1993年竞赛题）　求dxdydz，其中Ω为由曲面z=所围成的立体.

解析　方法1（用球坐标变换）　令

x=rsinφcosθ，y=rsinφsinθ，z=rcosφ(https://www.daowen.com)

则0≤r≤1，0≤φ≤，0≤θ≤2π，故

方法2（用柱坐标变换）　令

x=ρcosθ，y=ρsinθ，z=z

则ρ≤z≤，0≤ρ≤，0≤θ≤2π，故

例5.30（北京市1997年竞赛题）　设f（x）在区间［0，1］上连续，且=m，试求

解析　令F（u）=，则F（0）=0，F（1）=m，F′（u）=f（u）.由于

于是

例5.31（江苏省2002年竞赛题）　设f（u）在u=0可导，f（0）=0，Ω：x2+y2+z2≤2tz，求

解析　先用球坐标计算三重积分，有

于是