5.2.8 应用斯托克斯公式解题（例5.59—5.60）
例5.59（江苏省1994年竞赛题） 已知a，b为常向量，且a×b=（1，1，1），r=（x，y，z）.
（1）证明：rot（a·r）b=a×b；
（2）求向量场A=（a·r）b沿闭曲线Г：
（从z轴正向看依逆时针方向）的环流量.
解析 （1）记a=（a1，a2，a3），则a·r=a1x+a2y+a3z.记f=a1x+a2y+a3z，则
rot（a·r）b=▽×（fb）=f（▽×b）+（▽f）×b
=f0+（a1，a2，a3）×b=a×b
（2）记Σ：x+y+z=0（x2+y2+z2≤1），取上侧，则环流量为
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例5.60（北京市1991年竞赛题） 设空间曲线C由立方体：0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1的表面与平面x+y+z=相截而成，从z轴正向看去，C取逆时针方向[1]，计算
解析 如右图所示，设截面上侧部分为曲面S，它在xOy平面上的投影的面积为，S的法向量为n=（1，1，1），其方向余弦为cosα=cosβ=cosγ=
令P=z2-y2，Q=x2-z2，R=y2-x2，运用斯托克斯公式，有
因此
（从z轴正向看依逆时针方向）的环流量.
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相截而成，从z轴正向看去，C取逆时针方向[1]，计算
，S的法向量为n=（1，1，1），其方向余弦为cosα=cosβ=cosγ=
