8.2.3　齐次微分方程的应用题（例8.9）

8.2.3　齐次微分方程的应用题（例8.9）

例8.9（清华大学1985年竞赛题）　已知A，B，C，D四个动点开始分别位于一个四边形的四个顶点（如图（a）），然后点A向着点B、点B向着点C、点C向着点D、点D向着点A同时以相同的速率运动，求每一点运动的轨迹，并画出运动轨迹的大致图形。

解析　建立如图（b）所示坐标系，坐标原点在正方形的中心，点A，B，C，D的坐标别为（a，a），（a，-a），（-a，-a），（-a，a）.下面先考虑点A的运动.设经过时刻t，点A运动到P（x，y），则点B运动到Q（y，-x），作PM垂直于x轴，QM垂直于y轴，PM与QM相交于M.于是

这是奇次方程，令y=xu，方程化为

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解得这就是点A运动的轨迹，化为极坐标方程为

此为对数螺线.图形如右图（c）所示.点B，C，D运动轨迹的极坐标方程分别为

其图形由对称性可画出（如图（c）所示）.