8.2.1 微分方程的特解（例8.1—8.3）
例8.1（江苏省1991年竞赛题） 已知微分方程y′=
有特解y=则φ（x）=________.
解析 因y′=代入微分方程得
令ln|x|=t，得φ（t）=故φ（x）=
例8.2（莫斯科大学1977年竞赛题） 是否存在闭区间［-a，a］上的连续函数p（x），q（x），使得y=x2sinx是微分方程
y″+p（x）y′+q（x）y=0
的特解？
解析 将y=x2sinx代入微分方程得(https://www.daowen.com)
（2sinx+4xcosx-x2sinx）+p（x）（2xsinx+x2cosx）+q（x）x2sinx=0
当x≠0时，将上式整理得
令x→0得2+4+0+0=0，即6=0，此为矛盾式.故不存在连续函数p（x），q（x）使得y=x2sinx为所给微分方程的解.
例8.3（南京工业大学2009年竞赛题） 已知一阶线性方程y′+p（x）y=ex有特解y=xex，则该微分方程的通解为_________________.
解析 将特解y=xex代入原方程可解得p（x）=-1.y′+y=0的特征方程为λ-1=0，故λ=1，于是原方程的余函数为y=cex.所以所求通解为
y=ex（c+x）.
有特解y=
则φ（x）=________.
代入微分方程得
故φ（x）=
