2.5.1　极限存在准则

2.5.1　极限存在准则

1.数列极限的夹逼准则

准则2.5.1（数列极限的夹逼准则）.如果数列{xn}，{yn}，{zn}（n＝1，2，3，…），满足下列条件：

(1)yn≤xn≤zn,

(2),

那么数列{xn}的极限存在，且.

证明　因为lni→m∞yn＝a，lni→m∞zn＝a，所以根据数列极限的定义，对于任意给定的正数ε，存在正整数N1和N2，当n＞N1时，有

当n＞N2时，有

取N＝max{N1，N2}，则当n＞N时，以上两个不等式同时成立，也即

同时成立.又因xn介于yn和zn之间，所以当n＞N时，有

即成立，也即.

上述数列极限的夹逼准则可推广到函数极限的情形.

准则2.5.1′　如果函数f（x），g（x），h（x）满足下列条件：(https://www.daowen.com)

（1）当时，有

g(x)≤f(x)≤h(x)

(2),

那么存在，且等于A.

例2.5.1　求.

解　由于且

所以，由夹逼准则可知.

注：求n项和的数列极限时常采用夹逼准则，且在使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测.

2.单调有界数列收敛准则

准则2.5.2（单调有界数列收敛准则）　单调有界数列必有极限.

准则2.5.2表明，如果数列不仅有界，并且是单调的，那么这个数列的极限必定存在，也就是这个数列一定收敛.

3.单调有界数列收敛准则的几何解释

从数轴上看，单调数列的点xn只可能向一个方向移动，所以只有两种可能情形：第一种情形，点列xn沿数轴移向无穷远（xn→+∞或xn→-∞）；第二种情形，点xn无限趋近于某一个定点a，如图2.12所示，也就是数列{xn}趋向于一个极限.但现在假定数列是有界的，而有界数列对应的点列xn都落在数轴上某个闭区间[-M，M]内，所以上述第一种情形就不可能发生了，这就表示这个数列趋向于一个极限，并且这个极限的绝对值不超过M.

图2.12　单调有界数列