2.5.2 两个重要极限
1.
这一极限需要用几何的方法并利用上面给出的夹逼准则来证明.
证明 作一半径为1的单位圆，如图2.13所示，设圆心角∠AOB＝
，点A处的切线与OB的延长线相交于D，且BC⊥OA，由于
△AOB的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
图2.13 单位圆
且BC＝sinx
，AD＝tanx，所以有
即 sinx＜x＜tanx
将上面的不等式除以sinx，得
取倒数
由于cosx
和1都为偶函数，所以上述不等式在开区间
也成立，即上述不等式在
都成立.
下面证明
.
因为
，故当
时，有
即
当x→0时，
，即
，由极限的夹逼准则知
，所以
.
由于
，再由不等式
及极限的夹逼准则，可得
例2.5.2 
.
解 
例2.5.3 
.
解 令t＝arcsinx，则x＝sint，当x→0时，t→0，于是
例2.5.4 设有半径为r的圆，用其内接正n边形的面积An逼近圆面积S，An可表示为
求圆的面积
.(https://www.daowen.com)
解 
注：n→∞时
，由公式
，可得
，因此这一重要公式更一般的形式为
.
例2.5.5 
.
解 
例2.5.6 
.
解 
2.
证明 这里只证明x取正整数n，且趋于+∞的情形，即证明数列极限
存在.
设
，由牛顿二项式公式，有
同样，
·…·
两式相比较，除前两项外，xn的每项均小于xn+1的对应项，且xn+1还比xn多了一项（其值大于零），所以
即数列{xn}是单调增加的，如果将xn展开式中各括号用较大的数1代替，有
所以数列{xn}有上界，根据夹逼准则可知
必存在，此极限通常记作e，即
当x取任意实数趋于+∞或-∞时，函数
的极限都存在且为e，即
进一步可以证明e是一个无理数，其值是e＝2.718281828459045…，e是自然数对数的底.
利用复合函数的极限运算法则，若令
， 则当x→∞时，u→0，故上式的另一种形式为
，也即
例2.5.7 
.
解 
例2.5.8 
.
解 
例2.5.9 
.
解 
例2.5.10 求
.
解 
