5.4 分部积分法
学习目标与要求
（1）掌握分部积分法；
（2）了解利用分部积分法求解的递推公式.
前面在复合函数求导法则的基础上，得到了换元积分法，现在利用两个函数乘积的求导法则，来推导另一个求解积分的方法——分部积分法.
设函数u＝u（x），v＝v（x）具有连续导数，由乘积的求导法则，有d（uv）＝udv-vdu，移项可以得到udv＝d（uv）-vdu，关于等式两边求不定积分，则有
即
这个公式称为分部积分公式.
一般来说，分部积分法解决的是两种不同类型函数乘积的不定积分问题.下面通过例子来说明这个公式的用法和有关注意事项.
例5.4.1 求积分
.
解 设u＝x，dv＝cosdx，则v＝sinx.代入分部积分公式中，得到
但是，如果设u＝cosx，那么dv＝xdx，即
，代入公式，得到
我们发现，右端的积分比原积分更不容易求出，因此这种设法不好.
由此可见，恰当地选取u，v是很重要的，一般应该注意.
（1）选取的v要容易求得出；
（2）
容易积出，或者继续分部积分后容易得出结果.
例5.4.2 求积分
.
解 设u＝x，v＝e-x，则dv＝-e-xdx
所以 
注：如果被积函数是
为正整数，a≠0）形式，一般可以设u＝xn.
例5.4.3 求积分
.
解 设
，则
刚开始学习时，可以写出u，v代换，熟悉之后，可以省略这些步骤.
例5.4.4 求积分
.
解 
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注：如果被积函数是
等形式，一般可以设dv＝xndx.这里n可以取零.因为对数函数和反三角函数是不容易凑成微分的.
例5.4.5 求积分
.
解
最后一个式子中又出现了所求积分
，将它移到等式的左端，记得去掉了积分符号，就添加上任意常数C，即 
整理 得 
注：如果需要多次用到分部积分法，就要求每一次积分都是对于同一类型的函数凑成微分.如果用不同的函数凑成微分，那么是求不出积分的.例如：
例5.4.6 求积分
.
解 利用分部积分法，取dv＝dx，有
等式右边与等式左边的积分是同一种类型的，继续分部积分，仍取dv＝dx，有
移项整理，得到
例5.4.7 求
（ a＞0，n为正整 数）.
解 用分部积分法，取
，有
即
将上式中的n换成n-1，得到递推公式为
再由
，可得In.
上述例题结果称为递推公式，这一递推公式是由In推算In+1，称为一步递推.有时递推公式为二步递推.一般来说一步递推需要一个初值，二步递推需要两个初值.在计算某些积分时，要同时使用换元积分法与分部积分法才能完成计算.
例5.4.8 求积分
.
解 令
，则dx＝3t2dt
例5.4.9 求积分
.
解 
在这一节中，我们学习了计算不定积分的两种基本的方法：换元积分法和分部积分法.读者应该在练习的过程中，熟悉两种方法的典型类型以及典型手法；在计算中，应学会选择合适的方法来解题.
