5.3 第二类换元积分法
学习目标与要求
（1）掌握第二类换元积分法中的三角代换；
（2）掌握第二类换元积分法中的简单的根式代换；
（3）掌握第二类换元积分法中的倒代换.
第一类换元积分法的思想是：在求积分
时，如果被积表达式g（x）dx可以化为f[φ（x）]φ′（x）dx的形式，那么
所以第一换元积分法体现了“凑”的思想，把被积函数凑出形如f[φ（x）]φ′（x）dx的形式.在第一类换元法中，需要找到适当的u＝φ（x）进行换元，然而对于某些函数的积分，可能不容易找到适当的u＝φ（x）换元，也有可能在换元变形为∫f（u）du后并不好积分.因此，我们介绍另外一种换元方法：将变量x看作另一变量t的函数，这种方法称为第二类换元法.从形式上来看，第二类换元法和第一类换元法是正好相反的.
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x＝ψ（t），将∫f（x）dx化为有理式f[ψ（t）]ψ′（t）的积分∫f[ψ（t）]ψ′（t）dt，即
若上面的等式右端的被积函数f[ψ（t）]ψ′（t）有原函数Φ（t），则
然后再把Φ（t）中的t还原成t＝ψ-1（x），所以变量代换x＝ψ（t）应该有反函数.
定理5.3.1 设函数x＝ψ（t）在区间I上是单调的、可导的函数，且ψ′（t）≠0，若f[ψ（t）]ψ′（t）在区间I上有原函数，则有换元公式
式中，t＝ψ-1（x）是x＝ψ（t）的反函数.
证明 设f[ψ（t）]ψ′（t）的原函数为Φ（t），利用复合函数及反函数求导法，得
即Φ[ψ-1（x）]是f（x）的原函数.
所以 
证毕
在实际运算中只在必要时，才对上述定理中的x＝ψ（t）所需满足的条件进行验证，一般情况只需按照式（1）所表达的按部就班的计算就行.
被积函数含有无理式（根号）是该类积分的障碍，因此无法直接利用基本积分公式，首先要脱掉根号.第二类换元法解题的基本思路就是去掉根号，使得被积函数的表达式发生比较大的变化，从而能够求出积分，因此对于带根号的被积函数应用得比较多.如果被积函数中含有下列根式的类型，可以通过三角函数去根号进行求解.
例5.3.1 求积分
.
解 为了去掉被积函数中的根号，可利用三角函数恒等式sin2x+cos2x＝1，引入新的积分变量t，于是，令
，
那么 
于是 
因为 
所以 
则 原式
为了更快速清楚地变形，可以利用变数替换关系
作辅助直角三角形（图5.2）来帮助，然后对积分结果进行必要的回代处理.
图5.2 例5.3.1图示
图5.3 例5.3.2图示
例5.3.2 求积分
.
解 设
所以
如图5.3所示，可以得到
这里，可以看出
，所以可以去掉绝对值，即
例5.3.3 求积分
.
解 因为被积函数的定义域为
，故分别在x＞a和x＜-a两个区间求不定积分.
（1）当x＞a，设x＝asect，取
，
这时
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图5.4 例5.3.3图示
根据
，作辅助三角形，如图5.4所示.
原式
.
（2）当x＜-a，设x＝-u，有u＞a.可用（1）的结论
最后，把x＞a和x＜-a的结果合写成一个式子，有
注：如果被积函数有以下情况（a＞0，b＞0）.
（1）含有
，则设
进行换元；
（2）含有
，则设
进行换元；
（3）含有
，则设
进行换元.
如果不是上述三种类型，也可直接令无理式为一个新的变量.
例5.3.4 求积分
.
解 令
，
所以 
例5.3.5 求积分
.
解 令
，则
原式
注：如果被积函数中含有根式
进行换元，即
；如果被积函数中有两个根式
，则一般设x＝tk，其中k是n，m最小公倍数（a≠0，m，n是正整数）.
例5.3.6 求积分
.
解 设
， 则
，代入积分中得到
注：例5.3.6中的换元也是很有用处的，称为倒代换，即设
， 用倒数来代换.主要是用来消去在被积函数的分母中的变量x的.
以上例子中的一些结果是可以直接用来求解较复杂的积分题的，总结如表5.2所示.
表5.2 补充积分表
我们遇到的很多不定积分，不仅可以用第二类换元积分解答，也可以用第一类换元积分的方法来解答.
例5.3.7 求
.
解法一 令x＝tant⇒dx＝sec2tdt 
图5.5 辅助三角形计算不定积分
解法二：
令t＝x2+1⇒x4＝（t-1）2
当然，除了以上讨论的不定积分，抽象函数的积分也可以用到换元法.
例5.3.8 设函数f（x）定义于（0，1）上，且满足f′（cos2x）＝cos2x+tan2x，求f（x）的表达式.
解 注意到表示形式的不同：f′（cos2x）表示对（cos2x）作为一个整体求导，而不是对变量x求导.因此可以将（cos2x）整个换元出去.
因为
令cos2x＝t，则得到
于是
从而f（x）＝x2-2x+lnx+C x∈（0，1）
总之，无论利用第一类，还是第二类换元积分法，选择适当的变量代换是个关键.除了熟悉一些典型类型外，还需多做练习，从中总结经验，摸索规律，提高演算技能.
