5.5.1 有理函数的积分
1.有理函数的分解
大家知道，最简单的形式莫过于多项式，而比多项式稍微复杂的就是多项式的比值所表达的函数——有理函数.
式中，m，n是非负整数；a0，a1，…，an和b0，b1，…，bm是实数，并且a0≠0，b0≠0.
若P（x）的次数大于或等于Q（x）的次数，则R（x）称为有理假分式；
若P（x）的次数小于Q（x）的次数，则R（x）称为有理真分式.
如果R（x）是有理假分式，可用多项式除法，将它化为一个多项式与一个有理真分式之和.例如：
可以看出，多项式的不定积分很容易求得，因此我们只需研究R（x）为有理真分式的不定积分.根据代数学基本定理，任意多项式Q（x）在实数范围内总能分解为一个常数与形如（x-a）n与（x2+px+q）m等因式的乘积，即
式中，p2-4q＜0，…，r2-4s＜0，α，β，λ，μ是正整数.
那么有理真分式
可以分解成下面的部分分式之和：
式中，Ai，Bj，Mr，Nk，Um，Vn都是待定常数.它们可以通过待定系数法，由等式右端通分，消去分母后的恒等式确定.
归纳为以下两种情况.
（1）当分母为（x-a）n时，分子的形式可以设为待定常数A，即
（2）当分母为（x2+px+q）m时，x2+px+q为二次因式，其中p2-4q＜0，那么分子形式可以设为待定的一次因式Mx+N，即
例5.5.1 将有理真分式
分解为部分分式.
解法一 利用比较系数法，令
两端去分母得到
比较两端同次项的系数，有 
从而，解得：A＝1，B＝1，C＝-1
即 
解法二 利用特殊值法，令
两端去分母得到 1＝A（x-1）2+Bx+Cx（x-1）
代入一些容易求到结果的特殊值：令x＝0，得到A＝1；令x＝1，得到B＝1；再比较x2项，得到C＝-1.
2.简单有理真分式的积分
对于有理真分式R（x）的积分
的计算可以归结为以下四种简单有理分式的不定积分.(https://www.daowen.com)
(1)
可以直接求得结果
.
(2)
可以直接求得结果
.
（3）
（其中p2-4q＜0）
例5.5.2 求积分
.
解 将分子的一部分拼凑成分母的微分，即
仿照例5.5.2的方法，可以得到一般公式为
式中
（4）
（这里只写出分析思路）
思路
其中第二项化为
的形式，然后利用例5.4.7中的递推公式，即可求得结果.
例5.5.3 求积分
.
解 设
解得 A＝1，B＝-3，C＝-4，D＝-1，E＝-2
于是 
对三项分别求积分，得到
由例5.4.7的递推公式（n＝2，a＝1），有
综合在一起，得到
可见，有理函数的原函数都是初等函数.
当然，并不是所有的有理函数的积分都需要这样分解成部分分式再计算的，对具体的题目，可以有更简便的方法.
例5.5.4 求积分
.
解法一 分解为部分分式
则
解法二 先将被积函数进行整理，再令u＝x3，即
