5.5.2 可转化为有理函数的积分
1.三角有理式的积分
由三角函数sinx，cosx以及常数，经过有限次的四则运算得到的有理函数，称为三角有理式，记作R（sinx，cosx）.
对于求三角有理式的积分
常见的方法是作以下两种代换：
（1）作变换
；
再利用万能代换公式
将三角有理式的积分化为关于变量u的有理函数的积分.
（2）作变换u＝tanx，则
，这种代换常见于含有sin2x，cos2x的三角有理式的积分.
这是因为
，易于凑成微分.
利用三角恒等变形，有
例5.5.5 求积分
.
解 令
，则
，
代入积分得 
例5.5.6 求积分
.
解 令
，则
例5.5.7 求积分
.
解 令u＝tanx，则
，代入积分得到(https://www.daowen.com)
当然，并不是所有的三角有理式都需要这样的烦琐运算，一些常见的、简单的情形运用三角恒等式就可以进行变形简化，很快地求得结果.
例5.5.8 求积分
.
解 原式
2.简单根式的积分
解决这类问题的基本思路是：去掉根式.可以将根式代换出去，利用变量置换使其化为有理函数的积分.
例5.5.9 求积分
.
解 设
，则dx＝2udu，代入得到
例5.5.10 求积分
.
解 为了去掉根式，可以设
例5.5.11 求积分
.
解 为了去掉根式，可以设
则
所以 
一般地，二次三项式ax2+bx+c中若a＞0，则可令
；若c＞0，还可令
.这类变换称为欧拉变换.
这一节中，主要学习了某些特殊类型的有理函数的积分，以及可以通过换元转化为有理函数的三角有理式、根式的积分.
至此，已经学过了求不定积分的两种基本方法，以及某些特殊类型不定积分的求法，读者应该通过多做练习，观察、分析、总结各种解题方法和技巧，掌握不同类型问题的特点以及彼此之间的联系，达到融会贯通的目的.需要指出的是，通常所说的“求出不定积分”，是指用初等函数的形式把这个不定积分表示出来，在这个意义下，并不是任何初等函数的不定积分都能“求出”来的，比如
等，虽然这些函数的积分都是存在的，但是却无法用初等函数的形式来表示.因此可以说，初等函数的原函数不一定是初等函数.
