2.1  多项式及其运算

2.1 多项式及其运算

设F是一个数域，x是一个未定元，a₀，a₁，…，a_n是数域F中的一组数，称形如

a_nxⁿ+…+a₁x+a₀

的表达式为数域F上关于未定元x的一元多项式，其中a_ixⁱ称为x的i次方项，i称为该项的次数，a_i称为xⁱ项的系数，0≤i≤n.设多项式

f（x）=a_nxⁿ+…+a₁x+a₀，

当a_n≠0时，n称为多项式f（x）的次数，记作degf（x）或者∂f（x），项a_nxⁿ称为多项式f（x）的首项，a_n叫作首项系数，多项式f（x）称为n次多项式.单个的非零常数称为零次多项式，而多项式f（x）=0的次数规定为-∞.

数域F上的一元多项式全体组成的集合记作F[x]，称作数域F上的一元多项式环.

设两个多项式

f（x）=a_nxⁿ+…+a₁x+a₀，g（x）=b_mx^m+…+b₁x+b₀∈F[x]

分别是n次和m次多项式，如果n=m并且a_i=b_i对所有的i=0，1，…，n都成立，那么我们就称这两个多项式是相等的，记作f（x）=g（x）.

若多项式

f（x）=a_nxⁿ+…+a₁x+a₀，g（x）=b_mx^m+…+b₁x+b₀

分别是n次和m次多项式，记k=max{n，m}，定义多项式f（x）和g（x）的加法运算和减法运算如下：

f（x）+g（x）=（a_k+b_k）x^k+…+（a₁+b₁）x+（a₀+b₀），

f（x）-g（x）=（a_k-b_k）x^k+…+（a₁-b₁）x+（a₀-b₀）.

其中，

a_i=0，b_i=0，n，m<i≤k.

同时还可以定义多项式f（x）和g（x）的乘法运算

f（x）g（x）=c_n+mx^n+m+…+c₁x+c₀，

其中，

上面得到的运算结果分别称为两个多项式f（x）与g（x）的和、差、乘积.

多项式的次数是关于多项式的重要概念，多项式的次数有如下一些性质.

命题2.1 设f（x），g（x）都是多项式，那么有如下一些结论成立.

（1）deg0=-∞；

（2）deg（f（x）±g（x））≤max{degf（x），degg（x）}；

（3）degf（x）g（x）=degf（x）+degg（x）.

例2.1 设多项式

f（x）=3x⁵-7x⁴+8x²-10x+3，

g（x）=-2x⁴+5x³-2x²+4x-7.

这时我们可以得到

f（x）+g（x）=3x⁵-9x⁴+5x³+6x²-6x-4，

f（x）-g（x）=3x⁵-5x⁴-5x³+10x²-14x+10.

类似整数四则运算的竖式计算法，对于多项式的加减法运算也可以利用竖式算法进行.

从加减法的定义中我们可以看到，多项式的加减运算实质上是未定元x的相同次数项的系数之间的运算.因此为了书写简便，可以省去式（2.1）与式（2.2）中的全部x，把它们写成

这种只利用多项式的系数进行计算的办法称为分离系数法.在式（2.1）～式（2.4）中左边出现的f（x），g（x）以及=在具体计算中都可以省略不写，这里写出只是为了易于观察学习而已.

例2.2 设多项式f（x）=2x³-x+5，g（x）=x²+3x-1，我们来计算f（x）g（x）.记

a₃=2，a₂=0，a₁=-1，a₀=5；

b₂=1，b₁=3，b₀=-1.

利用乘积的定义可以得到

这样就得到多项式f（x）与g（x）的乘积(https://www.daowen.com)

f（x）g（x）=（2x³-x+5）（x²+3x-1）

=2x⁵+6x⁴-3x³+2x²+16x-5.

同样，多项式的乘法运算也可以通过竖式运算完成.

式（2.6）是式（2.5）分离系数之后的形式，可以看到分离系数之后不但书写简便，计算过程也更加清晰明白.

命题2.2 若f（x），g（x），h（x）是三个多项式，则它们的加法和乘法运算有如下性质.

（1）加法交换律 f（x）+g（x）=g（x）+f（x）；

（2）加法结合律 f（x）+（g（x）+h（x））=（f（x）+g（x））+h（x）；

（3）乘法交换律 f（x）g（x）=g（x）f（x）；

（4）乘法结合律 （f（x）g（x））h（x）=f（x）（g（x）h（x））；

（5）分配律 f（x）（g（x）+h（x））=f（x）g（x）+f（x）h（x）；

（6）乘法消去律 若f（x）≠0且f（x）g（x）=f（x）h（x），那么一定有g（x）=h（x）.

证明：（4）乘法结合律，即对任意三个多项式f，g，h都有（fg）h=f（gh）.

设三个多项式

分别是p，q，r次多项式.利用多项式乘积的定义，有

这样就证明了多项式乘法满足结合律

（f（x）g（x））h（x）=f（x）（g（x）h（x））.

（6）乘法消去律，即若f（x）≠0且f（x）g（x）=f（x）h（x），那么一定有g（x）=h（x）.

由f（x）g（x）=f（x）h（x）可以得到f（x）（g（x）-h（x））=0，因此

degf（x）+deg（g（x）-h（x））=-∞.

条件表明degf（x）≥0，这样只可能有g（x）-h（x）=0，即g（x）=h（x）.

证毕.

习题

2.1.1. 计算f（x）±g（x）.

（1）f（x）=x³-4x²+5x-7，g（x）=-3x⁴+x³-2x；

（2）f（x）=2x⁵+8x³+17x，g（x）=-x³+18x；

（3）f（x）=-x⁴+x³-x²+x-1，g（x）=x³-x²+x-1；

（4）f（x）=-x⁵+7x²-9，g（x）=2x⁴+6x³-12x²+3x-6.

2.1.2. 利用分离系数法计算f（x）g（x）.

（1）f（x）=x³-2x²+x-6，g（x）=2x+3；

（2）f（x）=-2x⁴+x²+11，g（x）=-x+2；

（3）f（x）=3x²+x+1，g（x）=x²-2x+2；

（4）f（x）=-2x²-10x-10，g（x）=-x²-3x+4；

（5）f（x）=x²+7x-1，g（x）=x³-x²+x-1；

（6）f（x）=-x³+7x²-4，g（x）=2x²+3x+1；

（7）f（x）=-2x³+4x²+x-3，g（x）=x³-2x²+3x-1；

（8）f（x）=3x³+5x²-8，g（x）=x⁴+5x+1.

2.1.3. 计算f（x）g（x）.

（1）f（x）=x-1，g（x）=xⁿ+x^n-1+…+x+1；

（2）f（x）=x+a，g（x）=x^2n-1-ax^2n-2+a²x^2n-3-…+a^2n-2x-a^2n-1；

（3）f（x）=x⁴+x³+x²+x+1，g（x）=x⁸-x⁷+x⁵-x⁴+x³-x+1.

2.1.4. 证明多项式加法和乘法的性质.