2.2 整除
正如整数的除法在整数范围内不能畅通无阻地进行一样，多项式的除法也不是总可以进行的.但是，我们可以类似于整数的带余除法引入多项式之间的带余除法运算.
定理2.1 设f（x），g（x）是数域F上的两个多项式，且g（x）≠0，则存在数域F上的多项式q（x），r（x），使得
f（x）=q（x）g（x）+r（x）， （2.7）
其中r（x）=0或者degr（x）<degg（x），并且多项式q（x），r（x）是由f（x），g（x）唯一确定的.
证明：存在性.当degg（x）=0时，g（x）=a≠0∈F，则有
取多项式
即可得到所要结论.
当degg（x）=m>0时，我们对f（x）的次数用数学归纳法.当degf（x）<degg（x）时，取
q（x）=0，r（x）=f（x）
即可得到结论.当degf（x）≥degg（x）时，不妨设f（x）是n次多项式，且首项系数为b，g（x）的首项系数为a.作多项式
它是数域F上的多项式且次数小于n，由归纳假设，存在数域F上的多项式q1（x），r1（x）使得
其中r1（x）=0或者degr1（x）<degg（x）.这时取多项式
则显然q（x），r（x）为数域F上的多项式且
f（x）=q（x）g（x）+r（x），
这时显然有r（x）=0或者degr（x）<degg（x）.
唯一性.若另有多项式q1（x），r1（x）使得
f（x）=q1（x）g（x）+r1（x）， （2.8）
且其中r1（x）=0或者degr1（x）<degg（x）.式（2.7）、式（2.8）两式相减得
（q（x）-q1（x））g（x）=r1（x）-r（x）， （2.9）
若q（x）-q1（x）≠0，则由式（2.9）可以得到
deg[（q（x）-q1（x））g（x）]>deg（r1（x）-r（x）），
这是不可能的.因此，q（x）-q1（x）=0，即q（x）=q1（x），进而有r（x）=r1（x）.
证毕.
定理2.1中叙述的多项式除法称为多项式的带余除法，定理中的多项式q（x）称为g（x）除f（x）的商，多项式r（x）称为余式.多项式的带余除法运算也可以利用竖式形式完成，其竖式格式为
例2.3 设
f（x）=2x3+3x2-7x+1
和
g（x）=3x2-2x-1，
则g（x）除f（x）的商式是
，余式是
，即有
竖式格式计算过程为
这种计算也可以使用分离系数法完成，格式如下：
例2.4 利用分离系数法计算多项式
f（x）=2x6-2x5-27x4+7x3+11x2+9x-1
除以多项式
g（x）=x2+3x-1
的商式和余式.
解：使用分离系数法，列竖式计算得到
所以多项式f（x）除以g（x）的商式是2x4-8x3-x2+2x+4，余式是-x+3.
例2.5 多项式的带余除法和所考虑的多项式系数的范围有关.例如，在整系数多项式范围内，定理2.1就不成立.例如，取f（x）=2x2，g（x）=3x+2，就无法找到满足定理2.1要求的整系数多项式q（x）和r（x）.
在考虑多项式的除法运算时会出现所谓除不尽的情况，因此恰好除尽，也就是余式为零多项式的情况是格外重要的.这时我们可以引入一个重要的概念——整除.(https://www.daowen.com)
定义2.1 设f（x），g（x）是数域F上的多项式，如果存在数域F上的多项式q（x），使得f（x）=q（x）g（x），则称多项式g（x）整除f（x），记作g（x）|f（x）.此时，g（x）称为f（x）的因式，f（x）称为g（x）的倍式.
例2.6 设f（x）=x3-6x2+11x-6，g（x）=x2-3x+2，由于f（x）=（x-3）g（x），则有g（x）|f（x）.
容易验证整除性的如下性质.
命题2.3 设f（x），g（x）和h（x）是数域F上的多项式，那么有如下一些结论.
（1）f（x）|f（x）；
（2）若f（x）|g（x），g（x）|h（x），则f（x）|h（x）；
（3）若f（x）|g（x），g（x）|f（x），则f（x）=cg（x），c是F中的一个非零数；
（4）若f（x）|g（x），f（x）|h（x），则f（x）|（g（x）±h（x））；
（5）若f（x）|g（x），则f（x）|g（x）h（x）.
证明：（1）由于f（x）=1·f（x），因此f（x）|f（x）.
（2）若f（x）|g（x），g（x）|h（x），那么一定有多项式q1（x），q2（x）使得
g（x）=q1（x）f（x），h（x）=q2（x）g（x）.
因此，代入得到
h（x）=q2（x）q1（x）f（x），
由整除定义知道f（x）|g（x）.
（3）若f（x），g（x）中有一个是零多项式，那么可以推出另一个也必然是零多项式.这时结论成立.
若f（x），g（x）都不是零多项式，由于f（x）|g（x），g（x）|f（x），那么一定有多项式q1（x），q2（x）使得
g（x）=q1（x）f（x），f（x）=q2（x）g（x）.
因此我们可以得到
f（x）=q2（x）q1（x）f（x），
由消去律有q2（x）q1（x）=1，由命题2.1的（3）可以看出
degq2（x）+degq1（x）=0，
这表明q2（x）一定是非零数.
（4）若f（x）|g（x），f（x）|h（x），那么一定有两个多项式q1（x），q2（x）使得
g（x）=q1（x）f（x），h（x）=q2（x）f（x），
于是就得到
g（x）±h（x）=（q1（x）±q2（x））f（x），
由整除的定义可以看到f（x）|（g（x）±h（x））.
（5）条件表明存在多项式q（x）使得g（x）=q（x）f（x），而这时必然有g（x）h（x）=q（x）h（x）f（x），因此f（x）|g（x）h（x）.
证毕.
习题
2.2.1. 计算多项式f（x）除以g（x）的商和余式.
（1）f（x）=2x2+7x+9，g（x）=2x+1；
（2）f（x）=x4-5x3+2x2-6x-7，g（x）=x2-2x-3；
（3）f（x）=x4+x2+1，g（x）=x2+x+1；
（4）f（x）=2x4+3x2-7x+8，g（x）=2x2-2x+1；
（5）f（x）=4x3+x2，g（x）=x+1+i，i2=-1；
（6）f（x）=x4+x2+1，g（x）=ix2+（1+i）x-1，i2=-1.
2.2.2. 判断多项式
f（x）=x4+2x3-13x2-14x+24
是否可以被下面的多项式整除？如果不能的话，请给出余式.
（1）x+3； （2）x-1；
（3）x2-3x+2； （4）x2+6x+8.
2.2.3. 给出多项式（x-1）2整除x4+ax2+b的条件.
2.2.4. 当p，q，m满足什么条件时，x2+mx-1|x3+px+q.
2.2.5. 对哪些自然数k，x2-1|xk-1？
2.2.6. 请给出xp-1|xk-1的充分必要条件，其中p是已知素数.
2.2.7. 证明：x|fk（x）的充分必要条件是x|f（x）.
2.2.8. 求出多项式2xn+2-（n+2）x2+n除以（x-1）2的商.
2.2.9. 证明多项式f（x）=a0xn+…+an-1x+an能被（x-1）k+1整除的充分必要条件是
