2.9  对称多项式

2.9 对称多项式

本节讨论一种重要的多元多项式——对称多项式，并且研究用初等对称多项式表示对称多项式的方法.

定义2.13 若f（x₁，x₂，…，x_n）是一个n元多项式，对1，2，…，n的任意一个排列i₁，i₂，…，i_n都有

则称f（x₁，x₂，…，x_n）为n元对称多项式.

例如，

x³+y³+z³-3xyz，

x⁴₁+x⁴₂+x⁴₃+x⁴₄-3x₁x₂x₃-3x₂x₃x₄-3x₁x₃x₄-3x₁x₂x₄

都是对称多项式.

定义2.14n个未定元x₁，x₂，…，x_n的对称多项式

称为n元初等对称多项式.

通常，这n个初等对称多项式依次记作σ₁，σ₂，…，σ_n.初等对称多项式是最基本的对称多项式.在一元多项式根与系数的关系中，就会自然地出现初等对称多项式.以x₁，x₂，…，x_n为根的一元多项式是

（x-x₁）（x-x₂）…（x-x_n）=xⁿ-σ₁x^n-1+…+（-1）ⁱσ_ix^n-i+…+（-1）ⁿσ_n.

此外，显然有

引理2.7 对称多项式的和、差、积都是对称多项式.

证明留作习题.

关于对称多项式有重要的对称多项式基本定理.

定理2.19 （对称多项式基本定理） 任意对称多项式都可以唯一地用初等对称多项式表示，或者说，如果f（x₁，x₂，…，x_n）是对称多项式，那么一定存在n元多项式g（y₁，y₂，…，y_n），使得

f（x₁，x₂，…，x_n）=g（σ₁，σ₂，…，σ_n），

其中σ₁，σ₂，…，σ_n是关于变量x₁，x₂，…，x_n的初等对称多项式.

证明：存在性.设对称多项式f（x₁，x₂，…，x_n）按照字典排列法的首项是

那么必然有

k₁≥k₂…≥k_n. （2.48）

作关于x₁，x₂，…，x_n的多项式

则h₁是对称多项式，且首项恰好是

这样就知道f₁=f-h₁是对称多项式且首项后于f的首项.对多项式f₁重复上述做法，并且一直继续下去，最后我们将得到一串对称多项式

f₀=f，f₁=f₀-h₁，f₂=f₁-h₂，…，

且f_i的首项后于f_i-1的首项.

但是，后于（k₁，k₂，…，k_n）的序列是有限的，因此，上面的做法必然在某步之后终止，即会有某个自然数m使得f_m是零.这时，显然有

f=h₁+h₂+…+h_m. （2.50）

由于每一个h都是σ₁，σ₂，…，σ_n的多项式，因此，存在多项式g（y₁，y₂，…，y_n），使得

f（x₁，x₂，…，x_n）=g（σ₁，σ₂，…，σ_n）.

唯一性.设g₁（y₁，y₂，…，y_n），g₂（y₁，y₂，…，y_n）是两个n元多项式，使得

f（x₁，x₂，…，x_n）=g1（σ₁，σ₂，…，σ_n）=g₂（σ₁，σ₂，…，σ_n）.

作多项式

g^∗（y₁，y₂，…，y_n）=g₁（y₁，y₂，…，yn）-g2（y1，y2，…，yn），

则有

g^∗（σ₁，σ₂，…，σ_n）=0. （2.51）

若g^∗（y₁，y₂，…，y_n）≠0，不妨设

其中，a，b，…，c全不为零，且所有的单项式彼此不是同类项.考察多元多项式g^∗（σ₁，σ₂，…，σ_n），由

并注意到式（2.52）中没有同类项，可以知道

的首项互不相同，因此g^∗（σ₁，σ₂，…，σ_n）≠0，与式（2.51）矛盾.故此，多元多项式g^∗（y₁，y₂，…，y_n）只能是零多项式，即g₁（y₁，y₂，…，y_n）=g₂（y₁，y₂，…，y_n）.证毕.

定理2.19的证明是构造性的，可以按照定理证明中给出的方法求出多项式g.再注意到证明中f₁的首项一定是后于f的首项的，因此在具体计算过程中，可以先找出全部后于f的首项，并构造出它们所对应的多项式h，然后利用待定系数法计算出全部h的系数.这样可以避免大量的多项式乘法计算.

例2.27 将对称多项式x⁵+y⁵+z⁵用初等对称多项式表示出来.

解：关于变量组x，y，z的初等对称多项式为

σ₁=x+y+z，σ₂=xy+yz+zx，σ₃=xyz.

第一步，找到后于x⁵的项，共有五个，即

x⁵，x⁴y，x³y²，x³yz，x²y²z.

由它们可以构造出多项式h，如下：

σ⁵₁，σ³₁σ₂，σ₁σ²₂，σ²₁σ₃，σ₂σ₃.

由定理2.19的式（2.50）可以知道

x⁵+y⁵+z⁵=a₁σ⁵₁+a₂σ³₁σ₂+a₃σ₁σ²₂+a₄σ²₁σ₃+a₅σ₂σ₃， （2.53）

其中，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅是一组待定系数.

第二步，由定理2.19知道，系数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅是唯一确定的，故下面来确定这些系数即可.

令x=1，y=z=0，则有σ₁=1，σ₂=σ₃=0，代入式（2.53）得到a₁=1.

令x=1，y=1，z=-2，则有σ₁=0，σ₂=-3，σ₃=-2，代入式（2.53）得到a₅=-5.

令x=y=2，z=-1，则有σ₁=3，σ₂=0，σ₃=-4，代入式（2.53）得到a₄=5.

令x=1，y=1，z=0，则有σ₁=2，σ₂=1，σ₃=0，代入式（2.53）得到

4a₂+a₃=-15. （2.54）

令x=y=z=1，则有σ₁=3，σ₂=3，σ₃=1，代入式（2.53）得到

3a₂+a₃=-10. （2.55）

联立式（2.54）、式（2.55）两式并求解得到a₂=-5，a₃=5.(https://www.daowen.com)

因此，我们有

x⁵+y⁵+z⁵=σ⁵₁-5σ³₁σ₂+5σ₁σ²₂+5σ²₁σ₃-5σ₂σ_3.

例2.28 将n元对称多项式∑x²₁x²₂用初等对称多项式表示出来.

解：关于变量组x₁，x₂，…，x_n的初等对称多项式为

第一步，找到后于x²₁x²₂的项，共有三个，即

x²₁x²₃，x²₁x₂x₃，x₁x₂x₃x₄.

由它们可以构造出多项式h，如下：

σ²₂，σ₁σ₃，σ_4.

由定理2.19的式（2.50）可以知道

∑x²₁x²₂=a₁σ²₂+a₂σ₁σ₃+a₃σ₄， （2.56）

其中，a₁，a₂，a₃是一组待定系数.

第二步，由定理2.19知道，系数a₁，a₂，a₃是唯一确定的，故下面来确定这些系数即可.

令x₁=x₂=1，x₃=…=x_n=0，则有σ₁=2，σ₂=1，σ₃=…=σ_n=0，代入式（2.56）得到a₁=1.

令x₁=x₂=x₃=1，x₄=…=x_n=0，则有σ₁=3，σ₂=3，σ₃=1，σ₄=…=σ_n=0，代入式（2.56）得到a₂=-2.

令x₁=x₂=x₃=x₄=1，x₅=…=x_n=0，则有σ₁=4，σ₂=6，σ₃=4，σ₄=1，σ₅=…=σ_n=0，代入式（2.56）得到a₃=2.

因此，我们有

∑x²₁x²₂=σ²₂-2σ₁σ₃+2σ_4.

例2.29 证明：如果一个三次多项式x³+ax²+bx+c的一个根的平方是其余两个根的平方和，那么这个多项式的系数满足关系：

a⁴（a²-2b）=2（a³-2ab+2c）². （2.57）

证明：记多项式的三个根为x₁，x₂，x₃，其一个根的平方是其余两个根的平方和等价于恒等式

（x²₁-x²₂-x²₃）（x²₂-x²₃-x²₁）（x²₃-x²₁-x²₂）≡0 （2.58）

成立.

作对称函数

f（x₁，x₂，x₃）=（x²₁-x²₂-x²₃）（x²₂-x²₃-x²₁）（x²₃-x²₁-x²₂），

并记x₁，x₂，x₃的初等对称多项式为

σ₁=x₁+x₂+x₃，

σ₂=x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁，

σ₃=x₁x₂x_3.

下面，我们首先把对称函数f用σ表示出来.容易看到对称函数f是齐次函数，且首项为x⁶₁，因此后于它的项有七个，分别为

x⁶₁，x⁵₁x₂，x⁴₁x²₂，x⁴₁x₂x₃，x³₁x³₂，x³₁x²₂x₃，x²₁x²₂x²₃.

利用定理2.19可以知道，由它们产生的对称多项式为

σ⁶₁，σ⁴₁σ₂，σ²₁σ²₂，σ³₁σ₃，σ³₂，σ₁σ₂σ₃，σ²₃.

因此，

f（x₁，x₂，x₃）=a₁σ⁶₁+a₂σ⁴₁σ₂+a₃σ²₁σ²₂+a₄σ³₁σ₃+a₅σ₂³+a₆σ₁σ₂σ₃+a₇σ²₃， （2.59）

其中，a_i，1≤i≤7是一组待定系数.

下面决定全部的系数a_i.

令x₁=1，x₂=-1，x₃=0，则σ₁=0，σ₂=-1，σ₃=0，代入式（2.59），可以得到a₅=0.

令x₁=1，x₂=1，x₃=-2，则σ₁=0，σ₂=-3，σ₃=-2，代入式（2.59），可以得到a₇=8.

令x₁=1，x₂=0，x₃=0，则σ₁=1，σ₂=0，σ₃=0，代入式（2.59），可以得到a₁=1.

令x₁=2，x₂=2，x₃=-1，则σ₁=3，σ₂=0，σ₃=-4，代入式（2.59），可以得到a₄=8.

令x₁=1，x₂=1，x₃=0，则σ₁=2，σ₂=1，σ₃=0，代入式（2.59），可以得到4a₂+a₃=-16.

令x₁=1，x₂=2，x₃=0，则σ₁=3，σ₂=2，σ₃=0，代入式（2.59），可以得到9a₂+2a₃=-38.联立上面的方程得到a₂=-6，a₃=8.

最后，令x₁=1，x₂=1，x₃=1，则σ₁=3，σ₂=3，σ₃=1，代入式（2.59），可以得到a₆=-16.

综合上面的计算可以得到

f（x₁，x₂，x₃）=σ⁶₁-6σ⁴₁σ₂+8σ²₁σ²₂+8σ³₁σ₃-16σ₁σ₂σ₃+8σ²₃. （2.60）

在本题中，由多项式根与系数的关系可以知道，

σ₁=-a，σ₂=b，σ₃=-c，

代入式（2.60）得到

a⁶-6a⁴b+8a²b²+8a³c-16abc+8c²=0.

简单计算可以知道这就是我们需要证明的等式.证毕.

习题

2.9.1. 证明一个n元多项式f（x₁，x₂，…，x_n）是对称多项式的充分必要条件是，对任意的自然数1≤i<j≤n总有

f（x₁，…，x_i，…，x_j，…，x_n）=f（x₁，…，x_j，…，x_i，…，x_n）.

2.9.2. 证明：对称多项式的和、差、乘积仍然是对称多项式.

2.9.3. 将下列对称多项式表示为初等对称多项式的多项式形式.

（1）x³+y³； （2）x⁵+5x³y²+5x²y³+y⁵；

（3）x³+y³+z³-3xyz；（4）（2x-y-z） （2y-z-x）（2z-x-y）；

（5）x²（y+z）+y²（x+z）+z²（x+y）； （6）x⁴+y⁴+z⁴.

2.9.4. 将下列对称多项式表示为初等对称多项式σ₁，σ₂，…，σ_n的多项式.

2.9.5. 将下列对称函数用初等对称多项式表示.

2.9.6. 设x₁，x₂，x₃是多项式x³-3x+1的三个根，求以（x₁-x₂）²，（x₂-x₃）²，（x₃-x₁）²为根的多项式.

2.9.7. 若α是多项式x²-3x+1的根，而β是多项式x²+x+4的根，求以α+β为根的有理系数多项式.

2.9.8. 令F[x₁，x₂，…，x_n]是数域F上的多元多项式环，S是其上的所有对称多项式的集合，证明：存在从F[x₁，x₂，…，x_n]到S的双射.

2.9.9. 设α₁，α₂，…，α_n是某数域F上的多项式

xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n

在复数域内的全部根.证明：α₂，…，α_n的每个对称多项式都是可以表示成F上关于α₁的多项式.