2.7  有理系数与整系数多项式

2.7 有理系数与整系数多项式

一个有理系数多项式a_nxⁿ+…+a₁x+a₀总可以化为a（b_nxⁿ+…+b₁x+b₀）的形式，其中a是有理数，b_i都是整数，a_i=ab_i，0≤i≤n，并且系数组b₀，b₁，…，b_n的最大公因数是1.这样的工作总是能够完成的，如我们可以先形式上通分，然后把分母以及分子系数的公因数同时提出.由此可见，有理系数多项式a_nxⁿ+…+a₁x+a₀的因式分解问题，就相当于整系数多项式b_nxⁿ+…+b₁x+b₀的因式分解问题.

以下我们只讨论整系数多项式的因式分解问题.首先我们引入本原多项式的概念.

定义2.10 若整系数非零多项式

f（x）=a_nxⁿ+…+a₁x+a₀

的系数的最大公因数等于1，即

（a_n，…，a₁，a₀）=1，

那么就称多项式f（x）是一个本原多项式.

例如，多项式x⁴+4x²+2，6x⁷-8x³+9x-1都是本原多项式，但是，多项式3x³+12x²-9就不是本原多项式，因为其系数有公因数3.由前面的分析可以看到，每一个有理系数多项式都可以写成一个有理数与一个整系数本原多项式的乘积的形式.以下我们只考虑本原多项式的分解问题.

关于本原多项式有下面重要的结论Gauss引理.

引理2.4（Gauss引理） 两个本原多项式的乘积仍然是本原多项式.

证明：设整系数多项式

f（x）=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀，

g（x）=b_mx^m+b_m-1x^m-1+…+b₁x+b₀，

其中a_n≠0，b_m≠0，都是本原多项式，即满足条件

（a_n，a_n-1，…，a₁，a₀）=1，（b_m，b_m-1，…，b₁，b₀）=1. （2.37）

它们的乘积为

其中，

下面用反证法证明多项式h（x）一定是本原多项式.如若不然，一定可以找到一个素数p，使得

p|c_k，0≤k≤m+n. （2.38）

由式（2.37）可以知道，必然有两个整数下标i₀，j₀使得

考虑多项式h（x）的系数，

式（2.41）结合式（2.39）、式（2.40）可以看出，与式（2.38）矛盾.因此，假设不对，h（x）是本原多项式.证毕.

定理2.13 整系数多项式f（x）在有理数范围内可约的充分必要条件是f（x）在整数范围内可约.

证明：充分性显然成立，只需要证明必要性.

设整系数多项式f（x）在有理数范围内可以分解为多项式g（x）与h（x）的乘积的形式，即f（x）=g（x）h（x）.由前面的分析可以知道，三个多项式f，g，h可以写成如下形式：

f（x）=af₁（x），g（x）=bg₁（x），h（x）=ch₁（x），

其中，a，b，c都是有理数，而f₁（x），g₁（x），h₁（x）都是本原多项式.这样就有af₁（x）=bcg₁（x）h₁（x），即.由Gauss引理知道，右边是本原多项式，因此左边必然也是本原多项式，这表明a=±bc都是整数，因此f（x）=[bcg₁（x）]h₁（x），即f（x）是整系数多项式乘积.证毕.

这个定理表明，整系数多项式在有理数域内的分解问题等价于在整数范围内的因式分解问题.因此，一个整系数多项式在整数范围内不可约也就意味着它在有理数范围内是不可约的.

定理2.14 设

f（x）=a_nxⁿ+…+a₁x+a₀

是一个整系数多项式， （l，k∈Z且（l，k）=1）是f（x）的一个有理根，则

k|a_n，l|a_0.

证明：由于f（r）=0，因此有

即

a_nlⁿ+a_n-1l^n-1k+…+a₁lk^n-1+a₀kⁿ=0. （2.42）

式（2.42）表明

k|a_nlⁿ，l|a₀kⁿ，

又因为（k，l）=1，因此

k|a_n，l|a₀.

证毕.

例2.21 设多项式

f（x）=x⁵+x⁴-x³+2x²-x-2，

如果f（x）有有理根，则只能是±1或±2.逐个验算，知

f（1）=0，f（-1）=2，f（2）=44，f（-2）=0.

所以，f（x）有两个有理根1和-2.另外，进一步计算可得

f（x）=（x-1）（x+2）（x³+x+1）.

例2.22 设多项式

f（x）=3x³-4x²+4x-1，

f（x）的有理根只能是±1，.逐个验算知只有.因此，f（x）只有一个有理根，并且有

f（x）=（3x-1）（x²-x+1）.

定理2.15（Eisenstein判别法） 设

f（x）=a_nxⁿ+…+a₁x+a₀

是一个整系数多项式.如果存在一个素数p，使得

（1）pa_n；

（2）p|a_i，0≤i≤n-1；

（3）p²a₀，

则f（x）在整数范围内是不可约的，进而在有理数范围内也是不可约的.

证明：假设f（x）在整数范围内可约，即

f（x）=（b_kx^k+…+b₁x+b₀）（c_lx^l+…+c₁x+c₀），

其中，(https://www.daowen.com)

b_i，c_j∈Z，0≤i≤k，0≤j≤l；k，l≥1，k+l=n；b_k，cl≠0.

显然，a_n=b_kc_l，a₀=b₀c0，由已知条件p|a₀，可得p|b₀或者p|c₀.又由于p²a₀，可得p不能同时整除b₀和c₀.因此，不妨设p|b₀，但pc₀.由已知pa_n，可得pb_k.设b₀，b₁，…，b_k中第一个不能被p整除的是b_s，即

p|b₀，p|b₁，…，p|b_s-1，pb_s.考虑多项式f（x）的系数a_s，应有

a_s=b_sc₀+b_s-1c₁+…+b₀c_s.

由于s≤k<n，因此，p|a_s.进^一步可得p|b_sc₀，即p|b_s或者p|c₀，矛盾.因此，多项式f（x）在整数范围内是不可约的.证毕.

定理2.16 在整数范围内存在任意次的不可约多项式.

证明：若p是素数，对任意自然数n，由Eisenstein判别法易知多项式

xⁿ+p

是不可约多项式.当然这个多项式在有理数范围内也不可约.

例2.23 若f（x）是一个整系数多项式，且f（0），f（1）都是奇数，则f（x）没有整数根.

证明：设多项式

f（x）=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀，

由于f（0）=a₀是奇数，因此，f（x）不能有偶数根.又由于

f（1）=a_n+a_n-1+…+a₀

是奇数，因此，

a_n+a_n-1+…+a₁

是偶数，f（x）不能有奇数根.证毕.

例2.24 在整数范围内分解多项式f（x）=x⁸-1.

解：使用平方差公式可以得到

f（x）=x⁸-1=（x-1）（x+1）（x²+1）（x⁴+1）.

下面研究多项式h₁（x）=x²+1与h₂（x）=x⁴+1的可约性.作变换x=y+1，则

h₁（y+1）=y²+2y+2， （2.43）

h₂（y+1）=y⁴+4y³+6y²+4y+2. （2.44）

选择素数p=2，由Eisenstein判别法可以看到多项式h₁（y+1），h₂（y+1）都是不可约多项式，因此多项式h₁（x），h₂（x）也都是不可约的.

例2.25 在整数范围内分解多项式f（x）=x^p-1，其中p是一个素数.

解：f（x）=（x-1）（x^p-1+…+x+1）.

下面我们来证明多项式x^p-1+…+x+1是不可约的.记多项式

g（x）=x^p-1+…+x+1，

令x=y+1，则有

由此可见，素数p不整除h（y）的首项系数1；，k=1，2，…，n-1；，利用Eisenstein判别法，知h（y）不可约，进而g（x）也不可约.证毕.

例2.26 若a₁，a₂，…，a_n是n个不同的整数，证明：多项式

f（x）=（x-a₁）（x-a₂）…（x-a_n）-1

在整数范围内不可约.

证明：用反证法.设f（x）可约，且f（x）=g（x）h（x），其中

1≤degg（x），degh（x）<n.

考虑多项式φ（x）=g（x）+h（x），显见，degφ（x）<n且φ（x）≠0.又f（a_i）=-1，即g（a_i）h（a_i）=-1，所以，g（a_i）+h（a_i）=0，1≤i≤n.即φ（x）有n个不同的根.但这是不可能的.证毕.

习题

2.7.1. 求出下列多项式的全部有理根.

（1）x⁴+2x³-3x²-14x+24；

（2）x⁵-2x⁴-4x³+4x²-5x+6；

（3）x⁶-6x⁵+11x⁴-x³-18x²+20x-8；

（4）2x³+3x²+6x-4；

（5）2x³-x²+3x+2；

（6）4x⁴-7x²-5x-1.

2.7.2. 在整数范围内分解因式.

（1）x⁴+4； （2）x¹²-1；

（3）x¹²+x⁹+x⁶+x³+1.

2.7.3. 求出下列多项式的全部有理根.

（1）x⁴-8x³+12x²-6x+2； （2）x⁴-x³+2x+1；

（3）x⁵-12x³+36x-12； （4）x⁶+x³+1.

2.7.4. 设p是素数，整系数多项式x³+αx+β可约，且p²整除α，p整除β.证明：p³整除β.

2.7.5. 求一个以为根的整系数多项式.

2.7.6. 若p，q，m是正整数，则x²+x+1|x^3p+2+x^3q+1+x^3m.

2.7.7. 是否存在整系数多项式f（x），使得f（1）=3且f（5）=8.

2.7.8. 求出形如x⁵+ax³+bx+1的所有可约的整系数多项式.

2.7.9. 设a₁，a₂，…，a_n是两两不同的整数，证明：多项式

f（x）=（x-a₁）²（x-a₂）²…（x-a_n）²+1

在整数范围内不可约.

2.7.10.设a₁，a₂，…，a_n是两两不同的整数，证明多项式

f（x）=（x-a₁）（x-a₂）…（x-a_n）+1

除了两个例外都是不可约的，这两个例外是

（x-a）（x-a-2）+1=（x-a-1）2，

和

（x-a）（x-a-1）（x-a-2）（x-a-3）+1=[（x-a-1）（x-a-2）+1]².