4.6 子空间的交与和
本节介绍线性子空间的两种运算——交与和，并证明维数定理.
定义4.7 若V1和V2都是线性空间V的子空间，称
{α∈Vα∈V1，α∈V2}
为V1和V2的交，记作V1∩V2；称
{α1+α2α1∈V1，α2∈V2}
为V1和V2的和，记作V1+V2.
引理4.1 定义4.7中的V1∩V2和V1+V2都是V的线性子空间.
证明：首先，若向量α，β∈V1∩V2，那么就有α，β∈V1并且α，β∈V2，由于V1，V2都是线性子空间，则
α+β∈V1，α+β∈V2，
进一步有
α+β∈V1∩V2.
若k是数，则同理有
kα∈V1，kα∈V2，
进一步有
kα∈V1∩V2.
由定理4.6知道V1∩V2是V的线性子空间.
其次，若向量α，β∈V1+V2，依照定义4.7可以知道一定存在向量α1，β1∈V1，α2，β2∈V2，使得
α=α1+α2，β=β1+β2.
因此，
α+β=（α1+α2）+（β1+β2）
=（α1+β1）+（α2+β2）
∈V1+V2.
若k是数，则有
kα=k（α1+α2）=kα1+kα2∈V1+V2.
由定理4.6知道V1+V2是V的线性子空间.证毕.
定理4.8（维数定理） 若V1和V2都是n维线性空间V的子空间，则
dim（V1+V2）=dimV1+dimV2-dim（V1∩V2）.
证明：首先我们记子空间的维数为
dimV1=r1，dimV2=r2，dimV1∩V2=r.
任取交空间V1∩V2的一组基
α1，α2，…，αr.
由于V1∩V2⊆V1，故由定理4.7知道一定可以在V1中找到r1-r向量组
β1，β2，…，βr1-r，
使得
α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βr1-r
是V1的一组基.同理，一定可以在V2中找到r2-r向量组
γ1，γ2，…，γr2-r，
使得
α1，α2，…，αr，γ1，γ2，…，γr2-r
是V2的一组基.(https://www.daowen.com)
由和空间的定义可以看到，V1+V2中的任意一个向量都可以由向量组
α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βr1-r，γ1，γ2，…，γr2-r
线性表示.并且还可以看到这个向量组一定是线性无关的.如若不然，设有一组常数
使得
则有
则有
是α1，α2，…，αr的线性组合，因此，所有的mi都是零，进而有所有的ki，lj都是零.由此可见，向量组
线性无关，因此是V1+V2的一组基，这就表明
dim（V1+V2）=dimV1+dimV2-dim（V1∩V2）.
证毕.
例4.29 在三维线性空间R3中，
W1={（x，y，z）x+y+z=0}，W2={（x，y，z）x+y-z=0}
是两个线性子空间.
记
α1=（1，-1，0），α2=（1，0，-1），α3=（1，0，1），
易见
α1，α2∈W1，α1，α3∈W2.
由空间解析几何知识知道，W1，W2都是两个通过坐标原点的平面，它们都是二维的.
另外，易见α1，α2是W1的一组基，α1，α3是W2的一组基.又α1，α2，α3线性无关，因此是R3的一组基，这样，我们有
W1+W2=R3.
从几何上看W1，W2的交应是一条直线，是一维的.容易看到这条直线是R3的子空间
L={（x，-x，0）x∈R}=span（α1）=W1∩W2.
易于验证维数定理成立，即
dim（W1+W2）=dimW1+dimW2-dim（W1∩W2）.
习题
4.6.1. 设V1，V2，V3是线性空间V的子空间，且V1⊆V3，则
V1+（V2∩V3）=（V1+V2）∩V3.
4.6.2. 设V1，V2是线性空间V的子空间，给出V1∪V2是V的子空间的充分必要条件.
4.6.3. 如果Sn，Tn如习题4.5.2定义，计算：Sn+Tn及Sn∩Tn.
4.6.4. 设α1=（1，-1，0），α2=（-1，2，1），求向量α3，使得
span（α1，α2，α3）=R3.
4.6.5. 如果n维线性空间的子空间序列Vi，i≥1，满足条件
V1⊆V2⊆…⊆Vs⊆…，
则存在自然数k，使得
Vk+1=Vk+2=…=Vk+s=….
4.6.6. 若W1是线性空间V的子空间，且dimW1<dimV.问是否存在V的子空间W2，使得V=W1+W2？这样的W2是唯一的吗？为什么？
4.6.7. 若线性空间V的子空间V1，V2的维数分别是r1，r2.问：V1+V2和V1∩V2的所有可能的维数是多少？
4.6.8. 设S，T是线性空间V的子空间，dimS>dimT，且S+T的维数比S∩T的维数大1或2.求证：S+T=S且S∩T=T.
