4.7 直和
定义4.8 若V1和V2都是线性空间V的子空间，且V1∩V2={0}，则称和V1+V2为直和，并且记作V1⊕V2.
定理4.9 若V1和V2是n维线性空间V的子空间，则下列条件等价：
（1）V1+V2是直和；
（2）V1+V2中每个向量α都可唯一写成α=α1+α2的形式，其中α1∈V1，α2∈V2；
（3）V1+V2中零向量表示成两向量之和的方法是唯一的；
（4）dim（V1+V2）=dimV1+dimV2.
证明：（1）⇒（2），若α∈V1+V2，且
α=α1+α2=β1+β2，
其中
α1，β1∈V1，α2，β2∈V2.
则有等式
α1-β1=β2-α2.
从这个等式可见，
α1-β1∈V1，β2-α2∈V2.
由直和的定义知道V1∩V2={0}，因此，α1-β1=0，即α1=β1.同理有α2=β2.这表明在直和中任意一个向量的表示方法是唯一的.
（2）⇒（3），在（2）中取α=0即可.
（3）⇒（4），若dimV1∩V2>0，则存在0≠α∈V1∩V2，于是
0=0+0=α+（-α），
矛盾.因此，dimV1∩V2=0.由维数定理有结论成立.
（4）⇒（1），由维数定理有dimV1∩V2=0，此即V1∩V2={0}，也就是说，V1+V2是直和.
证毕.
定理4.10 若W是n维线性空间V的子空间，则存在V的子空间W′，使得V=W⊕W′.
证明：设dimW=r，取W的一组基α1，α2，…，αr，并把它扩充成V的一组基
α1，α2，…，αr，αr+1，…，αn.
取线性子空间
W′=span（αr+1，αr+2，…，αn），
则由定理4.9有dim（W+W′）=dimW+dimW′，所以，V=W⊕W′.证毕.
定义4.9 设W1，W2，…，Ws是线性空间V的子空间，W=W1+W2+…+Ws.如果每个向量α∈W表为W1，W2，…，Ws中向量和的方法是唯一的，则称和
W=W1+W2+…+Ws
是直和，记作
W1⊕W2⊕…⊕Ws.
定理4.11 设W1，W2，…，Ws是n维线性空间V的子空间，则下列条件等价：
（1）和W=W1+W2+…+Ws是直和；
（2）0表为W1，W2，…，Ws向量和的方法是唯一的；
（4）dimW=dimW1+dimW2+…+dimWs.
证明：（1）⇒（2）.由直和的定义这是显然的.
（2）⇒（3）.若向量
，则有α∈Wi且存在一组向量αj∈Wj，j≠i，使得
记αi=-α，那么就有(https://www.daowen.com)
由于零向量的表法是唯一的，因此
αi=0，1≤i≤s.
从中可以得到α=-αi=0，即证.
（3）⇒（4）.由条件显然有
因此
反复使用维数定理，可以得到
dimW=dim（W1+W2+…+Ws）
=dim（W1+W2+…+Ws-1）+dimWs
=…
=dimW1+dimW2+…+dimWs.
（4）⇒（1）.分别取每个子空间Wi的一组基αij，1≤j≤ri，其中dimWi=ri.由条件可以知道向量组
αij，1≤i≤s，1≤j≤ri
是和空间W的一组基，因此一定线性无关，由直和的定义知道W=W1+W2+…+Ws是直和.
证毕.
例4.30R2=span（ε1）⊕span（ε2），其中ε1=（1，0），ε2=（0，1）.
例4.31 在例4.29中，
R3=span（α1）⊕span（α2）⊕span（α3），
或者
R3=span（α1，α2）⊕span（α3）.
例4.32 在Rn-1[x]中，记Li=span（xi），0≤i≤n-1，则
Rn-1[x]=L0⊕L1⊕…⊕Ln-1.
例4.33 用Mn（R）表示实数域R上的所有n阶方阵的集合.对于矩阵的加法和数乘运算Mn（R）构成R上的线性空间.易证Eij，1≤i，j≤n，是Mn（R）的一组基，因此Mn（R）是一个n2维线性空间.
以S记Mn（R）中所有的对称矩阵的集合；T记Mn（R）中所有的反对称矩阵的集合.易于验证，S和T都是Mn（R）的线性子空间，且
因为每一个n阶方阵都可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和的形式，所以Mn（R）=S⊕T.
习题
4.7.1.C0是习题4.1.2定义的线性空间.记
Ci=span（αi），i=1，2.证明：C0=C1⊕C2.
4.7.2. 在线性空间Rn中，记
W1={（x1，x2，…，xn）∈Rnx1+x2+…+xn=0}，
W2={（x1，x2，…，xn）∈Rnx1=x2=…=xn}，
证明：Rn=W1⊕W2.
4.7.3. 在线性空间Rn中，取向量α1，α2，…，αs，记
U=span（α1，α2，…，αs），
V={α∈RnαiαT=0，1≤i≤s}，
证明：V是Rn的一个子空间，且Rn=U⊕V.
