7.3 正定二次型

定义7.4 设f（x）=x^TAx是一个n元二次型，若对任意非零向量x，都有

x^TAx>0，x^TAx<0，x^T-Ax≥0，x^TAx≤0，

则这个二次型f分别称为正定二次型、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型，否则，称为不定二次型.相应的二次型的矩阵A分别称为正定矩阵、负定矩阵、半正定矩阵、半负定矩阵、不定矩阵.

例7.5n元二次型

是正定的；但n元二次型

不是正定的，因为x=（0，0，…，1）^T≠0时，也有g（x）=0.依据定义7.4这个二次型是半正定的.

定理7.7 设A是n阶对称矩阵，则A正定的充分必要条件是A的正惯性指数是n.

证明：充分性，如果n阶对称矩阵A的正惯性指数是n，则A合同于单位方阵，存在可逆矩阵P使得A=P^TEP=P^TP.对任意的向量x≠0，Px≠0，则

x^TAx=x^TP^TPx=（Px）^T（Px）>0.

必要性，若正惯性指数p<n，A合同于矩阵diag（E_p，-E_q，0），因此存在可逆矩阵P使得

A=P^Tdiag（E_p，-E_q，0）P.

取x使得Px=（0，0，…，1）^T，则x≠0，但是

x^TAx=x^TP^Tdiag（E_p，-E_q，0）Px

=（Px）^Tdiag（E_p，-E_q，0）（Px）

≤0，

矛盾，则正惯性指数p=n.证毕.

推论7.1 对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆实矩阵P使得A=P^TP.

定理7.8n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位方阵.

这只是定理7.7的另一种说法.

定理7.9 设A是对称矩阵，则A正定的充分必要条件是A的特征值全部为正值.

证明：必要性，用反证法.若A有一个特征值λ₁≤0，由上节定理7.6，存在正交矩阵O，使得正交变换x=Oy把二次型x^TAx化为标准形λ₁y²₁+λ₂y²₂+…+λ_ny²_n.

取y=（y₁，y₂，…，y_n）^T=（1，0，…，0）^T，相应的x≠0，但是，(https://www.daowen.com)

x^TAx=y^TO^TAOy=λ₁≤0，

矛盾，因此A的特征值全部为正值.

充分性，若A的特征值λ₁，λ₂，…，λ_n全部为正值，则存在正交变换x=Oy，使得

f（x）=x^TAx

=y^TO^TAOy

=y^Tdiag（λ₁，λ₂，…，λ_n）y

=λ₁y²₁+λ₂y²₂+…+λ_ny²_n.

对任意的x≠0，有y≠0，因此f（x）>0，即A正定.证毕.

习题

7.3.1. 判断下列二次型的正定性.

（1）x²₁+x²₂+2x²₃-8x₁x₂-4x₂x₃+2x₃x₁；

（2）7x²₁+8x²₂+6x²₃-4x₁x₂-4x₂x₃；

7.3.2.证明：度量矩阵是正定矩阵.

7.3.3.若A，B都是正定矩阵，则A+B也是正定矩阵.

7.3.4.若A是对称矩阵，则当实数t充分大以后，tE+A都是正定矩阵.

7.3.5.若A正定，则A^-1也正定.

7.3.6.设A是n阶对称矩阵，B是n阶正定矩阵.证明：存在n阶可逆矩阵C，使得C^TAC与C^TBC都是对角阵.

7.3.7.对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆对称矩阵C，使得A=C².

7.3.8.证明定理7.8.

7.3.9.对称矩阵A半正定的充分必要条件是A的特征值全部是非负实数.

7.3.10.n阶对称矩阵A半正定的充分必要条件是存在行满秩矩阵P_r×n，使得A=P^TP.

7.3.11.给出对称矩阵负定的一些判定，并讨论这些条件是否是充分必要条件.

7.3.12.设f（X）是n维线性空间V上的二次型，V₁，V₂是V的非平凡的子空间，且V=V₁⊕V₂.如果f（X）在V₁上正定，在V₂上负定，则f（X）的符号差等于dimV₁-dimV₂.