7.1  二次型及其矩阵表示

7.1 二次型及其矩阵表示

定义7.1 关于n个变元x₁，x₂，…，x_n的二次齐次多项式

称为n元二次型.本章只讨论系数都是实数的实二次型.为了研究方便，通常我们约定当i≠j时，二次型的系数满足关系a_ij=a_ji，这样二次型f（x₁，x₂，…，x_n）就容易用矩阵形式写出

这里，

A是一个n阶对称方阵，称为二次型的矩阵.显然，n元二次型f（x₁，x₂，…，x_n）和n阶对称方阵A之间可以建立一个1-1对应关系.矩阵A的秩定义为二次型的秩.

例7.1 二次型

f（x₁，x₂，x₃）=x²₁+x²₂+x²₃-4x₁x₂-6x₂x₃+2x₃x₁

的矩阵是

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例7.2n阶对称方阵

的二次型是

习题

7.1.1. 写出下列二次型的矩阵.

（1）x²₁-2x²₂+3x²₃-4x₁x₂+6x₂x₃-8x₃x₁；

（2）2x₁x₂+2x₂x₃+2x₃x₄+2x₄x₁；

7.1.2. 证明：A是反对称矩阵的充分必要条件是对任意的列向量α，都有α^TAα=0.

7.1.3. 证明：对称矩阵A=O的充分必要条件是对任意的列向量α，都有α^TAα=0.