8.2  消元法

8.2 消元法

在第3章中，我们初步探讨了用消元法解线性方程组，现在对这一方法作一个较详细的讨论.

考虑由m个n元一次线性方程组成的线性方程组

为了得到方程组（8.1）的全部解，我们先想办法减少方程组中变量的个数.可以利用加减消元法或者代入消元法消去一些变量.例如，先消去变量x₁.不失一般性地，不妨假定a₁₁≠0，在第i（2≤i≤m）个方程中减去第一个方程的倍，得到新方程

a^（1）_i2x₂+a^（1）_i3x₃+…+a^（1）_inx_n=b_i^（1），2≤i≤m，

即得到一个新方程组

如果我们可以得到方程组（8.2）的全部解，则必可通过方程组（8.1）中的第一个方程求出相应的变量x₁，即得到方程组（8.1）的全部解.实际上，容易证明方程组（8.1）与方程组

同解（请读者自证）.这样求解方程组（8.1）的问题就转化为求解方程组（8.3）.

把方程组（8.3）重新记作

如果在方程组（8.4）中有矛盾的方程，则方程组（8.4）无解，进而方程组（8.1）必然无解.否则，在方程组（8.4）中，从第2到m个方程中再消去一个变量，不妨设可以消去x₂，进行与上面类似的过程，可以得到一个与方程组（8.4）进而与方程组（8.1）同解的方程组

如果方程组中有矛盾方程，则必然无解.否则，从第3到m个方程中再消去一个变量，并如此进行下去，最终总可以把方程组化为如下形式

这里，a^（r）₁₁，a^（r）₂₂，…，a^（r）_rr都不是零.

容易得到，方程组（8.1）有解的充分必要条件是方程组（8.6）有解.并且当b^（r）_r+1，…，b^（r）_m至少有一个不是零时，方程组无解；当b^（r）_r+1=…=b^（r）_m=0时，方程组必然有解，且r=n时方程组有唯一的解，r<n时方程组有无穷多解.

在方程组（8.6）有解时，令

x_r+1=k₁，x_r+2=k₂，…，x_n=k_n-r，

可以通过代入法求得全部的变量x₁，x₂，…，x_n，这里，k₁，k₂，…，k_n-r是任意的值.(https://www.daowen.com)

这种通过消元求解方程组的方法称为高斯消元法.

例8.4 利用高斯消元法解方程组

解：消去变量x，化为同解方程组

显然，方程组无解.

例8.5 利用高斯消元法解方程组

解：方程组（8.7）消去变量x化为同解方程组

在方程组（8.8）中利用第二个方程消去后两个方程中的变量z，得到

在方程组（8.9）中利用第三个方程消去最后一个方程中的变量u，得到

令y=k₁，v=k₂，则可以依次解得

u=3-2k₂，z=3-2k₂，x=2k₁+3k₂-6，

即得方程组的解为

习题

8.2.1. 利用高斯消元法解下列方程组.