8.3  齐次线性方程组

8.3 齐次线性方程组

形如

的一组线性方程称为n元齐次线性方程组.其中，矩阵

称为齐次线性方程组（8.11）的系数矩阵.记x=（x₁，x₂，…，x_n）^T，则这个齐次线性方程组可以简单地记作

Ax=0.

显然，齐次线性方程组（8.11）必然有一组解x=（0，0，…，0）^T，即所有变量全是零的解，称为这个齐次线性方程组的零解；不是零解的解称为非零解.容易看到，如果x=（x₁，x₂，…，x_n）^T≠0是齐次线性方程组（8.11）的解，则kx，k∈F，都是这个齐次线性方程组的解.此时，方程组有无穷多组解.通常称使得Ax=0的向量x为这个齐次线性方程组的解向量.

把矩阵A的列向量依次记作β₁，β₂，…，β_n，则方程组（8.11）就是

即

x_1β1+x₂β₂+…x_nβ_n=0. （8.12）

由此可有如下定理.

定理8.5 齐次线性方程组（8.11）有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的列向量组线性相关.

推论8.3 齐次线性方程组（8.11）有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩小于n.

推论8.4 齐次线性方程组（8.11）只有零解的充分必要条件是系数矩阵A的列向量组线性无关.

推论8.5 齐次线性方程组（8.11）只有零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩是n.

定理8.6 齐次线性方程组（8.11）的所有解的集合构成一个线性空间，称为该齐次线性方程组的解空间，其维数是n-rankA.

证明：若向量x，y都是方程组（8.11）的解，即Ax=0且Ay=0.则显然有

A（x+y）=Ax+Ay=0

及对任意数k∈F都有

A（kx）=kAx=0，

即x+y，kx都是方程组（8.11）的解，因此，方程组（8.11）的解集构成线性空间.

记rankA=r，为叙述简单起见，不妨设A的前r列线性无关.由上节定理8.4及之后的讨论知，存在m阶可逆矩阵P，使得

由于P是可逆的，方程组Ax=0与方程组PAx=0有相同的解.因此，只需解方程组PAx=0即可.而此时，这个方程组可以写成

的形式，即

令向量

依次取n-r线性无关的向量

则相应得到方程组（8.13）（也即方程组（8.11））的n-r个线性无关的解

设ξ=（t₁，t₂，…，t_n）^T是齐次线性方程组（8.11）的一个解.由上面的讨论知道也是方程组（8.11）的解.因此，也是方程组（8.11）的解，亦即方程组（8.13）的解.简单计算可知

即.

这样，我们就证明了齐次线性方程组（8.11）的解空间有一组基

ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r.

因此解空间的维数是n-r.证毕.

齐次线性方程组的解空间的一组基称为该方程组的一个基础解系.解空间中的每一个向量都是解向量.

例8.6 解齐次线性方程组

解：首先，对这个齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换，化为行简化阶梯形矩阵.

所以，得到原方程组的一个同解方程组

亦即

(https://www.daowen.com)

依次令取，，得到基础解系

原方程组的解为

其中c₁，c₂是任意实数.

例8.7 正交补空间的计算 在n维欧氏空间Rⁿ中，α₁，α₂，…，α_s是子空间W的一组基，求W^⊥.

由正交补空间的性质可以知道，α∈Rⁿ与W正交的充分必要条件是α与向量组α₁，α₂，…，α_s中的任何一个向量都正交，即α^T_iα=0，1≤i≤s.记以α^T₁，α₂^T，…，α_s^T为行向量的矩阵为A，则前面得到的结论可以写成Aα=0.也就是说，α是齐次线性方程组Ax=0的解.因此，W⊥就是线性方程组Ax=0的解空间.

例8.8 方阵的特征向量的计算 若n阶方阵A有特征值λ₀，以及属于λ₀的特征向量x，则有Ax=λ₀x.移项合并之后，有

（λ₀E-A）x=0.

也就是说，若λ₀是方阵A的特征值，那么，齐次线性方程组（λ₀E-A）x=0的任意一个非零解都是A的属于λ₀的特征向量，并且属于λ₀的线性无关的特征向量应该有n-rank（λ₀E-A）个.

例8.9 证明：幂等矩阵一定相似于对角阵.

证明：设A是n阶幂等矩阵，即满足条件A²=A.

若λ是A的特征值，x是属于特征值λ的特征向量，则Ax=λx.因为

A²x=A（Ax）=A（λx）=λAx=λ²x，

所以，λ²x=λx，x≠0，进而有λ²=λ，解得λ=0或λ=1.

由例8.8知道，属于特征值λ=0的特征向量是齐次线性方程组（-A）x=0，即Ax=0的非零解；属于特征值λ=1的特征向量是齐次线性方程组（E-A）x=0的非零解.因此，可以得到n-rankA个属于特征值λ=0的线性无关的特征向量；n-rank（E-A）个属于特征值λ=1的线性无关的特征向量.

由第3章知道，对于n阶幂等矩阵A，

rankA+rank（E-A）=n.

易见，（n-rankA）+（n-rank（E-A））=n.这样就得到了幂等矩阵A的n个特征向量，由第4章知这n个特征向量还是线性无关的，因此A与对角阵相似.

例8.10 证明Sylvester惯性定律，即证明若n元二次型f（X）有两个规范形

y²₁+…+y_p²-y_p²+1-…-y²_r

及

z²₁+…+z²_p′-z²_p′+1-…-z²_r，

则p=p′.

证明：由二次型的性质知，应有可逆的线性代换Z=CY，使得

y²₁+…+y_p²-y²_p+1-…-y²_r=z²₁+…+z²_p′-z²_p′+1-…-z²_r， （8.14）

其中，C=（c_ij）_n×n是可逆矩阵.

假设p>p′，考虑齐次线性方程组

由于方程组只含有（n-p）+p′<n个方程，因此，线性方程组（8.15）一定有非零解.

令（k₁，…，k_p，k_p+1，…，k_n）是方程组（8.15）的一个非零解，则显然有k_p+1=…=k_n=0.把这组解代入式（8.14）左端，得到

k²₁+…+k_p²>0；

再代入式（8.14）右端得到

-z²_p′+1-…-z²_r≤0.

产生矛盾，所以假设不成立，即p≤p′.同理p≥p′，因此p=p′.证毕.

习题

8.3.1. 求出下列齐次线性方程组的基础解系和通解.

8.3.2. 证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系.

8.3.3. 设rankA_m×n=r，则齐次线性方程组Ax=0的任意n-r个线性无关解都是它的一个基础解系.

8.3.4. 记矩阵A_m×n的行向量依次为α₁，α₂，…，α_m，向量β=（b₁，b₂，…，b_n）.如果线性方程组Ax=0的解全是线性方程b₁x₁+b₂x₂+…+b_nx_n=0的解，证明：β是向量组α₁，α₂，…，α_m的线性组合.

8.3.5. 证明：rankAA^T=rankA^TA=rankA.

8.3.6.A，B是n阶方阵，且AB=0，则rankA+rankB≤n.

8.3.7. 证明：对合矩阵一定和对角阵相似.

8.3.8. 在欧氏空间R⁴中，记α₁=（1，2，3，4），α₂=（2，3，4，5）.

（1）求向量β₁，β₂，使得以α₁，α₂，β₁，β₂为行的四阶方阵是可逆的；

（2）求两个满足上述条件的正交向量β′₁，β′_2.

8.3.9. 在欧氏空间R⁴中，记α₁=（1，-1，1，-1），α₂=（1，1，1，1），记V=span（α₁，α₂）.求：V^⊥.

8.3.10. 设V₁，V₂，…，V_s是n维欧氏空间V的真子空间（≠V），证明：存在向量α∈V，使得α∉V_i，1≤i≤n.