声学有限元方法理论

三 、声学有限元方法理论

声学有限元法是用有限单元将声传播的空气域（如车内声场、机舱内声场、车外声场等）的空间离散化，根据声学波动方程求解空气域中的声特性。接下去简要推导一下从基本的声学方程转化为声学有限元的形式。

声学方程的频域形式为：

式中，k=ω/c=2f/c是波数，其中ω是圆频率；p是声压；ρ₀是声学介质的密度；q₀是外部作用于声学介质的质量源。

将式（5.6）进行积分后，得到：

式中，p～为权函数；V是计算域。(https://www.daowen.com)

根据高斯理论，可以将体积分转换为面积分：

式中，S是V的边界（或包络面）。

采用有限元风格将边界S离散后，可以得到数值形式的方程组：

（K_a+jωC_a-ω²M_a）·p_i=Q_i+V_ni+P_i=F_ai （5.9）

式中，Q_i是输入的声源向量；V_ni是输入的介质质点的速度向量，即速度边界条件；P_i是输入的声压向量，即声压边界条件；F_ai是声学激励；p_i是声学单元的节点声压；括号内的短式是方程矩阵，即稀疏矩阵。

在声学有限元的求解中，如果已知声源及相关边界条件，即可通过稀疏矩阵求逆来计算声场的响应。