4.2.2 探头首端信号反射率与探头阻抗的关系

在2.5节中，我们讨论了电磁波在传输线上传播遇到阻抗不匹配的负载时发生反射的一般情况，现在考虑信号在同轴电缆与探头连接处的具体情况。

在2.5节中我们讨论的是探头末端的反射情况，所以将探头等效为传输线，将由土壤的极化引起的损耗等效为负载Z_L。与2.5节中不同，这里我们讨论的是探头首端的反射情况，所以要将同轴电缆看作传输线，将插入土壤中的探头整个等效为一个负载Z_in。

现将式（2-66）稍作改变，为式（4-14）：

式中，Γ为信号反射率；V₀⁺和V₀^-分别是正向和反向传播的电磁波信号的幅值；Z₀为同轴电缆的特征阻抗，Z₀=50Ω；Z_in为探头的输入阻抗，可能是复数，其大小由式（2-80）给出：

式中，Z_P为探针的特征阻抗，与探针的结构和土壤介电常数有关；Z_L为土壤介电损耗的等效阻抗；L和β分别为探针的长度和传输常数的虚部。

图4-5 探头首端反射引起的测试信号相位改变的最大值

为了简单起见，我们仅考虑探头输入阻抗为纯电阻的情况，这样Z_in和Γ都是实数。将V₀⁺和V₀^-的幅值分别记为V_i和V_r2，称为入射电压幅值和反射电压幅值。由式（4-14）可得：

考虑到输入信号功率和反射信号功率分别为

根据能量守恒定律，则传输到探头上的功率为

P_p=P_i-P_r2=（1-Γ²）P_i （4-20）

所以输入到探头上的信号电压幅值为

即电压传输比为

由于探头终端开路，所以V_p将全部信号反射回来，到达与同轴电缆的连接处时再次发生反射，这次的反射率为

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将由探头传输到同轴电缆的电压幅值记为V_r1（其含义是探头末端反射的信号到达同轴电缆上时的信号幅值），根据式（4-22）和式（4-23），得

将式（4-24）与式（4-16）相比，可得

由上式可知，当-0.1＜Γ＜0.1时，有|k|＜0.1。图4-6所示为描绘出了探针首端的反射率Γ与两个反射信号的幅度之比k的关系。

图4-6 探针首端的反射率与反射信号幅值的关系

令探头输入阻抗与同轴电路特征阻抗之比为r，即

将其代入式（4-17）可得

将上式代入式（4-25）中得

由上式可知，当0.82＜r＜1.22，即41＜Z_in＜61时有|k|＜0.1。r与k的关系如图4-7所示。

从图4-7还可以看出，当r＜1，即探头输入阻抗Z_in小于同轴电缆的特征阻抗Z₀时，探头首端的反射信号与探头末端的反射信号幅值大小之比k随探头输入阻抗Z_in的减小迅速增大。也就是说，探头输入阻抗的变化会使得P-TDR测得的相位和反射率产生较大的误差。

而当r＞1，即探头输入阻抗Z_in大于同轴电缆的特征阻抗Z₀时，探头阻抗变化引起的相位和反射率变化较小。因此我们希望P-TDR使用的传感器探头在土壤中的阻抗接近或大于同轴电缆的特征阻抗（50Ω）。

将式（4-28）代入式（4-9）和式（4-13），得

这两个等式是定量近似分析探头阻抗与同轴电缆阻抗不相等引起的反射对相位和幅度测量结果的影响的基础。

图4-7 探头输入电阻与反射信号幅值的关系