7.2.4 垂向上土壤墒情的多元线性回归分析
研究一个随机变量（因变量）与一个或几个可控变量（自变量）之间的相关关系的统计方法称为回归分析。只有一个可控变量的回归分析叫做一元回归分析，多于一个可控变量的回归分析叫做多元回归分析。利用回归分析这种数学方法，可以从一个或几个可控变量的取值去估计作为因变量的一个随机变量的取值。通过相关性分析，我们发现，不同埋深处的土壤墒情之间都有较强的线性相关性，从而为我们进行回归分析提供了有效的依据。而在上节中提出了将8个土壤墒情变量分为3类时，土壤水分传感器的正确埋设位置为10cm、20cm和50cm。在这一节中，我们将这3个埋深的土壤墒情变量作为可控变量，将其他埋深处的土壤墒情变量作为随机变量，进行有3个可控变量的多元回归分析。在分析中，我们将建立其他埋深处土壤墒情与10cm、20cm和50cm土壤墒情的线性回归方程式，并判别所建立的线性回归方程式的有效性。
1.多元线性回归模型原理
设随机变量y与一般变量x1，x2，…，xk的线性回归模型为
式中 β0，β1，…，βk是k+1个未知数，称为回归系数；ξ是随机误差。
多元线性回归方程中回归系数的估计可以采用最小二乘法。定义残差平方和为
根据微积分中求极小值原理，可知残差平方和SSE存在极小值。欲使SSE达到最小，其对β0，β1，…，βk的偏导数必须等于零。
将SSE对β0，β1，…，βk求偏导数，并令其等于零，加以整理后得到k+1个方程式：
通过求解这一方程组便可分别得到β0，β1，…，βk的估计值。
对多元线性回归方程，也需要测定线性回归方程的拟合度、检验回归方程和回归系数的显著性。
拟合度检验：测定多元线性回归的拟合程度，使用多重判定系数，其定义如下：(https://www.daowen.com)
式中，SSR为回归平方和；SSE为残差平方和；SST为总离差平方和。判断系数R2测度了回归方程与观测数据的拟合程度，R2的值总是处于0～1之间。R2越接近1，回归平面拟合程度越高；反之，拟合程度越低。
回归方程的显著性检验（F检验）：多元线性回归方程的F检验，一般利用方差分析的方法进行。F统计量定义为：平均的回归平方和与平均的残差平方和（均方误差）之比，对于多元线性回归方程，有
式中，SSR为回归平方和；SSE为残差平方和；n为样本数；k为自变量个数。F统计量服从第一自由度为k、第二自由度为n-k-1的F分布。如果回归方程的拟合优度高，F统计量就越显著，F统计量越显著，回归方程的拟合优度也越高。
回归系数的显著性检验（t检验）：是用来检验各自变量x0，x1，…，xk对因变量y的影响是否显著，从而找出哪些自变量对y的影响是重要的，哪些是不重要的。如果某个自变量xi的回归系数βi的标准误差较大，必然得到一个相对较小的t值，表明该自变量xi的解释说明因变量变化的能力较差。
2.土壤墒情的多元线性回归模型
用10cm、20cm、50cm埋深处的土壤墒情变量{S10，S20，S50}作为可控变量，计算30cm、40cm、60cm、80cm、100cm埋深处土壤墒情变量{S30，S40，S60，S80，S100}的三元线性回归方程见表7-5。从判别系数R2的值可以看出，对30cm、40cm、80cm、100cm的土壤墒情拟合情况较好，对60cm的土壤墒情拟合情况稍差。F检验值都比较大，说明线性回归方程代表着变量之间的正确线性关系。t检验值说明，三个可控变量在拟合随机变量时的显著性大小。t值越大，说明该可控变量对随机变量的影响越大，反之则越小。
表7-5 土壤墒情的三元回归方程及其检验参数表
图7-9 不同埋深处土壤墒情的正态p-p图
应用残差分析理论，当回归方程拟合度高时，残差序列将呈现出标准正态分布，反映在正态p-p（概率-概率）图上，应该是代表样本的点簇在一条1∶1的直线周围，如图7-9所示。图7-9分别表示了拟合30cm、40cm、60cm、80cm、100cm土壤墒情的正态p-p图。30cm、40cm的土壤墒情p-p图效果最好，基本与直线重合，60cm的土壤墒情p-p图拟合程度稍差，这与判定系数显示的情况一致，从而进一步验证了，利用多元线性回归方程能够用已测深度处的土壤水分值计算出未测深度处的土壤水分值。
