2.3.2  导热微分方程

对一个无质量变化的封闭系统，设物体是各向同性的连续介质，导热系数、比热、密度等不随温度而变化，物体含有内热源，则根据热力学第一定律和Fourier导热定律，可得导热微分方程的一般形式为

或

式中，T为场中任一点温度，a为热扩散率，且a=λ/（cρ），其中λ为热导率；c为比热容；ρ为密度；q_V为单位体积和时间内所发出的热流量。

对于3D非稳态无内热源温度场，在直角坐标系下其导热微分方程简化为(https://www.daowen.com)

对于3D稳态无内热源温度场，在直角坐标系下上式可进一步简化为3D Laplace方程

或

∇²T=0 （2-70）

以上述两式为基础，可导出1D、2D温度场问题在直角坐标、极坐标和球坐标系的不同形式。当所分析的对象为轴对称物体时，导热微分方程采用柱坐标（r，φ，z）形式如下