1.1  初值问题

1.1 初值问题

初值问题是科研、工程技术应用中最常见的一类问题，一阶常微分方程的初值问题表述如下：

已知u(x)的起始点(x₀,u₀)以及u(x)的一阶导数表达式为二元函数f(x,u)，求在区间[x₀,∞)上满足这两个条件的u(x)。即：

由于起始点(x₀,u₀)给出了初始状态的条件，所以被称为初始条件。在少数特殊情况下，可以直接求出初值问题的解析解。对于更一般的情况，就只能通过数值解法求出数值解。数值解法的基本思路就是先对x和u(x)在区间[x₀,∞)上进行离散化，然后构造递推公式，再步进式地得到u(x)在这些位置的近似取值。

这些离散的位置可表为：

x₁,x₂,…,x_n,…

数值解法可得到u(x)在这些位置的近似取值：(https://www.daowen.com)

u₁,u₂,…,u_n,…

显然，u(x)在这些离散点处的精确取值为：

u(x₁),u(x₂),…,u(x_n),…

令相邻两个离散点的间隔为一定值h，则有x_n=x₀+nh(n=1,2,…)，这里h也被称为数值计算的步长。若能构造出这些位置的近似取值u_n的递推关系，也就是通过u_n获得u_n+1的公式，那么就可以依次获得u₁,u₂,…。由于计算u_n+1只需要u_n的取值，所以上述方法也称为单步法。与之相对，若用于计算u_n+1的递推公式除包含u_n外，还包含u_n-1,u_n-2,…，那么这种数值方法就称为多步法。

数值计算中最重要的就是递推公式，计算的精度、运算量都是由递推公式决定的。下面由浅入深地介绍几种基本的构造递推公式的方法，以引入数值计算的思路和重要概念。