1.1.2 局部截断误差
在利用某种数值计算方法由u1,u2,…,un逐步递推的过程中，每一步产生的误差都会积累在一起。在xn处的误差为u(xn)-un，称为整体截断误差。整体截断误差由此前每一步的误差以及误差之间的传递关系决定，分析它是极为复杂的。所以为了简化问题，只考虑局部的情况。那么假设u(xn)=un，由xn开始计算一步的误差为u(xn+1)-un+1，此即为局部截断误差。若某种数值计算方法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该方法的精度为p阶。
下面分析欧拉法、后退的欧拉法、二步欧拉法的精度。
（1）对于欧拉法：
un+1=un+hf(xn,un) （1-9）
假设un=u(xn)，并利用u′(x)=f(x,u)：
un+1=u(xn)+hu′(xn) （1-10）
用泰勒公式将u(xn+1)在xn处展开：
u(xn+1)=u(xn)+hu′(xn)+O(h2) （1-11）
上两式相减：
u(xn+1)-un+1=O(h2) （1-12）
所以，欧拉法的精度为1阶。
（2）对于隐式欧拉法：
un+1=un+hf(xn+1,un+1) （1-13）
假设等号右边有un=u(xn)、un+1=u(xn+1)，并利用u′(x)=f(x,u)：
un+1=u(xn)+hu′(xn+1) （1-14）
将上式中的u′(xn+1)在xn处做泰勒展开：
un+1=u(xn)+h[u′(xn)+O(h)]=u(xn)+hu′(xn)+O(h2) （1-15）(https://www.daowen.com)
将u(xn+1)在xn处泰勒展开：
u(xn+1)=u(xn)+hu′(xn)+O(h2) （1-16）
前两式相减：
u(xn+1)-un+1=O(h2) （1-17）
则：隐式欧拉法的精度为1阶。
（3）对于二步欧拉法：
un+1=un-1+2hf(xn,un) （1-18）
假设有un=u(xn)、un-1=u(xn-1)，并利用u′(x)=f(x,u)：
un+1=u(xn-1)+2hu′(xn) （1-19）
将上式中的u(xn-1)在xn处泰勒展开：
将u(xn+1)在xn处泰勒展开：
前两式相减：
u(xn+1)-un+1=O(h3) （1-22）
那么，二步欧拉法的精度为2阶。
