1.1.1 欧拉法
欧拉法（Eulermethod）的核心就是将导数（微商）近似为差商。将导数近似为向前差商，则有：
代入式（1-1）中的第1个式子，得：
u(xn+1)=u(xn)+hf(xn,u(xn)) （1-3）
用un和un+1近似代替u(xn)和u(xn+1)，得：
un+1=un+hf(xn,un) （1-4）
上式称为欧拉法，其中n=0,1,…。若已知u0的取值，就可以用递推公式（1-4）步进式地计算出x1,x2,…处的u1,u2,…。欧拉法的几何意义如图1-1所示，从点(x0,u0)出发，以f(x0,u0)为斜率做一直线段，与直线x=x1交于点(x1,u1)，该交点的纵坐标u1就是u(x)在该处的取值u(x1)的近似。再从点(x1,u1)出发，以f(x1,u1)为斜率做一直线段，与直线x=x2交于(x2,u2)，其纵坐标u2就是u(x2)的近似。继续重复这一过程，最终获得一条折线作为曲线u(x)的近似，因此欧拉法也叫折线法。
图1-1 欧拉法的几何意义
如果将导数近似为向后差商，有：(https://www.daowen.com)
同样代入式（1-1）中的第1个式子，并用un和un+1近似代替u(xn)和u(xn+1)，得：
上式称为后退的欧拉法（backward Euler method），其中n=0,1,…。它与欧拉法截然不同，式（1-4）可直接用xn和un计算得到un+1，而式（1-6）等号两边同时包含un+1，无法直接计算un+1具体数值，所以也称为隐式欧拉法（implicit Euler method）。
如果将导数近似为中心差商：
代入式（1-1）中的第1个式子，并用un-1和un+1近似代替u(xn-1)和u(xn+1)，得：
un+1=un-1+2hf(xn,un) （1-8）
用上式计算un+1的时候需要un-1和un的值，所以称其为二步欧拉法。实际使用二步欧拉法的时候，起初就要用到u0和u1的取值，若u1未知，一般就先用欧拉法求出u1的值，再使用二步欧拉法。
