1.1.3 改进的欧拉法

对式（1-1）中的第1个式子在[x_n,x_n+1]上积分，可得：

其中，n=0,1,…。用不同方式来近似上式中的积分运算，就会得到不同的递推公式。比如使用左端点计算矩形面积并取近似：

然后用u_n和u_n+1近似代替u(x_n)和u(x_n+1)，则式（1-23）变成：

u_n+1=u_n+hf(x_n,u_n) （1-25）

这恰好就是欧拉法。若使用右端点计算矩形面积并取近似：

然后用u_n和u_n+1近似代替u(x_n)和u(x_n+1)，则：

u_n+1=u_n+hf(x_n+1,u_n+1) （1-27）

得到的正是隐式欧拉法。若使用梯形的面积做近似：

再用u_n和u_n+1近似代替u(x_n)和u(x_n+1)，得：

上式称为梯形公式（trapezoidalrule）。不难发现，它其实就是欧拉法和隐式欧拉法的平均。由于用梯形面积近似积分比用矩形面积近似积分的精度要高，所以梯形公式也要比欧拉法和隐式欧拉法的精度更高，证明如下：

假设式（1-29）等号右边有u_n=u(x_n)、u_n+1=u(x_n+1)，并利用u′(x)=f(x,u)，得：(https://www.daowen.com)

将上式中的u′(x_n+1)在x_n处泰勒展开：

将u(x_n+1)在x_n处泰勒展开：

式（1-32）与式（1-31）相减得：

u(x_n+1)-u_n+1=O(h³) （1-33）

因此，梯形公式的精度为2阶。

欧拉法虽然精度偏低，但它是显式的，可直接得到结果。而梯形公式是隐式的，虽然精度较高，却无法通过一步计算得到结果，若用迭代法计算，运算量非常大。综合这两种方法，可以相得益彰：先用显式却低精度的欧拉法计算得到一个粗略的预测值ū_n+1，再将这个预测值ū_n+1代入梯形公式进行修正，得到较高精度的结果u_n+1。这就是预测-校正法（predictorcorrector method），也称为改进的欧拉法。它的过程可表示如下：

式（1-34）中，前一步为预测过程，后一步为校正过程。它也可以写成嵌套形式，即显式形式：

或写成平均化的形式：

显然，它的不同表达式——式（1-34）、式（1-35）、式（1-36）都是等价的，其精度是2阶，证明从略。