3.3.1  一维KdV方程

3.3.1 一维KdV方程

1834年，英国科学家、造船工程师Scott Russel观察到一只运行的木船船头挤出一堆水来，当船突然停下时，这堆水竟保持着它的形状，以大约13km/h的速度往前传播。1895年由荷兰数学家Korteweg和de Vries共同导出了在浅水沟表面上按照一个方向传播的波的运动方程，也就是KdV方程（Korteweg­de Vries equation），它的形式可以写成：

u是时间t和空间x的函数。式（3-32）的孤子解为a²/4·sech²{1/2[ax­(a+a³)t+δ]}，其中，a和δ为任意常数。对上式做傅里叶变换，得到：

使用t=0时的孤子解作为初始条件，令a=2、δ=0，则u(x,0)=sech²(x)，用傅里叶谱方法求解KdV方程的代码如下：

程序3-6

主程序代码如下：

(https://www.daowen.com)

KdV.m文件代码如下：

程序输出结果如图3-8所示，左图为空域上的u(x,t)，右图为频域上的û(k,t)。由孤子的解析解可知，孤子的形状保持不变，并以5个空间单位/1个时间单位的速度向x正方向移动，相应地，频域上的振幅始终不变，这与图中的计算结果完全一致。

图3-8 KdV方程的孤子解