5.4.1 一维泊松方程
更新于 2026年10月10日
版权声明
5.4.1 一维泊松方程
考虑具有洛平边界条件的一维泊松问题：
先将x和u分别离散化为N+1维向量x=(x0,x1,…,xN)T和u=(u0,u1,…,uN)T。针对两端边界的洛平边界条件，需要综合图5-8及图5-20所示的方法修改矩阵DN2。如图5-27所示：取出矩阵hDN的首（尾）行，在其首（尾）元素上加1，然后替换到矩阵DN2的首（尾）行处。这样修改后的矩阵DN2与向量u相乘所得向量的首尾元素将是u0+hu′(x0)和uN+hu′(xN)。
图5-27 在洛平边界条件下修改切比雪夫求导矩阵
在DN2上加两个“-”代表经过上述修改的切比雪夫求导矩阵，在f上加两个“-”代表将向量f=(f(x0),f(x1),…,f(xN))T的首尾元素分别替换为u0+hu′(x0)和uN+hu′(xN)的值（洛平边界条件）。那么，求解式（5-85），只需：
在切比雪夫求导矩阵上乘以缩放因子可将上述方法推广至任意区间，以下面的一维泊松方程为例：(https://www.daowen.com)
根据式（5-86）求解，并与其解析解u=ex+3(e-2-e2)x/4-3e-2+1比较，代码如下：
程序5-23
程序输出结果如图5-28所示：左图中，点表示计算得到的数值解，线表示解析解，二者吻合得很好。右图为误差分布，N=18时，最大误差仅在10-13级。
图5-28 左图：洛平边界条件下一维泊松问题的数值解（点）和解析解（线），右图：误差分布
