主成分回归分析法概况
回归分析（Regression Analysis）是研究一个变量（通常称为因变量）与另一个或多个变量（通常称为自变量）相互影响关系的一种定量分析方法。回归分析法应用范围较广，根据自变量数量的不同，可以将其划分为一元回归分析和多元回归分析；根据因变量数量，可以将其划分为简单回归分析与多重回归分析两种；依据两种变量之间的关系，可以将其划分为线性回归分析和非线性回归分析。当回归分析中的自变量和因变量只有一个，同时二者之间呈线性关系时，便出现了一元线性回归分析；当回归分析中的自变量和因变量至少为两个时便出现了多重线性回归分析。
主成分分析法（PCA）还被称之为主轴分析法和主分量分析法，它是一种转化多个指标为综合指标的分析方法。主成分分析法可以应用于图像处理、模式识别、故障诊断以及综合评价等领域，主要利用同一组别的变量线性组合对变量方差以及协方差结构做出解释，从而实现压缩数据以及解释数据的目标。在主成分分析法中，通过加工处理原始数据的途径，使问题的难度大大降低，不仅如此，数据信息的信噪比也随之得到提升。从主成分分析法的本质来看，它是一种线性映射法，对度量指标来说，不仅要真实、客观，而且要体现不同个体之间的差别，当同一指标对不同个体取值都大致相当时，该指标难以满足区分个体的需要。从这一角度来分析，处于不同个体之间的各项指标之间的变异越是明显，越是能够满足个体区分需要。主成分分析是一种统计分析手段，数据分析并不是真正的目的，因此当分析大型项目时经常采用这一分析方法。除此之外，这种方法还可以用于判别分析、聚类分析等。当多重回归中的自变量之间的高度存在相关性时，部分回归参数的预测值缺乏稳定性，甚至可能出现完全不符合常理、很难做出解释的情况。面对这一状况，可以利用主成分分析发对其中的主成分进行分析，存在显著相关性的变量经综合后会出现于相同主成分中，各个主成分之间具有独立性，因此只要主成分多保留一些，就不会出现过多损失原变量信息的情况。如此一来，如果多重回归中的自变量为主成分时，共线性的情况就不会出现。尽管部分主成分回归与原变量回归之间并不存在完全相等的关系，可是却能免于虚假信息的影响，使分析结果更加合理。
主成分回归模型的相关公式及含义。设有p 个观测变量
等，考虑有如下多元回归模型：
并且
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在估计上面的回归系数时有多种方法，如最小二乘法、极大似然法等，其中最常见是最小二乘法，并且理论已经证明了如果上述模型（1）满足高斯马尔科夫条件是，上述的系数估计是一致方差最小无偏估计。样本量过小时会出现维度的个数大于样本量的情况，通常称为高维。此时就不适合用一般的回归分析了，处理这种问题时，需要考虑对原先的指标进行合并即所谓的降维，主成分是一种很好的降维方法。具体降维方法如下：
若
，且使Var（F1）最大，则称F1 为第一主成分；
若
，且使Var（F2）最大，则称F2 为第二主成分；
类似地，可有第三、四、五…主成分，至多有m 个主成分。利用主成分分析得到p （p ≤ n ）个主成，分别记为F1 、F 2、… Fm，之后利用主成分分析的性质即P 个主成分之间是彼此不相关的，且Var （ Fi）=λi为第i 大的特征值。此时可以将m 个主成分的得分的结果作为新的观测值与因变量建立主成分回归模型如下：
其中Fi 代表第i 个主成分得分，这样做使得变量的维度从p 维降到了m维（m ≤ p），不仅简化了回归模型的结构，同时也消除了变量间的相关性所带来的影响。