三、极值法

尺寸链计算是根据结构或工艺上的要求，确定尺寸链中各环的基本尺寸及公差或偏差。极值法（也称极大极小法）是以各组成环的最大值和最小值为基础，求出封闭环的最大值和最小值。

（一）尺寸链极值法计算的基本公式

（1）封闭环基本尺寸计算。如图3-20所示的尺寸链中，A0 为封闭环，A1、A2、A5 为增环，A3、A4 为减环。由图可知

A0＝A1＋A2＋A5－A3－A4

图3-20 尺寸链计算

结论：尺寸链封闭环的基本尺寸，等于各增环的基本尺寸之和减去各减环基本尺寸之和。将各环的基本尺寸分别以A1、A2、…、Ai 表示，写成普遍式为

式中，m——组成环环数；

Ai——第i环的基本尺寸；

ξi——第i环的传递系数。对于增环，其传递系数ξi＝1；对于减环，其传递次数ξi＝－1。

上式亦可写为

（2）封闭环最大和最小尺寸计算。由式（3-10）可知，当尺寸链中所有增环为最大值，所有减环为最小值时，则封闭环为最大值；反之为最小值。写成普遍公式为

结论：封闭环的最大尺寸等于所有增环的最大尺寸之和减去所有减环的最小尺寸之和；封闭环的最小值等于所有增环的最小尺寸之和减去所有减环的最大尺寸之和。

（3）封闭环上偏差和下偏差的计算。

由式（3-11）减式（3-10），得

由式（3-12）减式（3-10），得

结论：封闭环的上偏差等于所有增环的上偏差之和减去所有减环的下偏差之和；封闭环的下偏差等于所有增环的下偏差之和减去所有减环的上偏差之和。

（4）封闭环公差T0。

由式（3-11）减式（3-12），得

式中，Ti 为尺寸Ai 的公差。

结论：封闭环公差（或误差）等于各组成环公差（或误差）之和。

由此可知，若各组成环公差一定，减少环数可提高封闭环精度；若封闭环公差一定，减少环数可放大各组成环公差，使其加工容易。

（5）平均尺寸Aav和中间偏差Δ 的计算。为使复杂的尺寸链计算简化，可用平均尺寸和中间偏差进行计算。

平均尺寸Aav等于最大尺寸和最小尺寸的平均值。

中间偏差Δ 是公差带中点偏离基本尺寸的大小。

由[式（3-11）＋式（3-12）]，得

由式（3-16）减式3-10）得

结论：封闭环平均尺寸等于所有增环平均尺寸之和减去所有减环平均尺寸之和；封闭环的平均偏差等于所有增环平均偏差之和减去所有减环平均偏差之和。

应用尺寸链原理解决加工和装配工艺问题时，经常碰到下述三种情况：①已知组成环公差求封闭环公差的正计算问题；②已知封闭环公差求各组成环公差的反计算问题；③已知封闭环公差和部分组成环公差求其他组成环公差的中间计算问题。解决正计算问题比较容易，而解决反计算问题比较难。

（6）解决尺寸链反计算问题的方法。

①按等公差原则分配封闭环公差，即使各组成环公差相等，其大小为

此法计算简单，但从工艺上讲，当各环加工难易程度、尺寸大小不一样时，规定各环公差相等不够合理。当各组成环尺寸大小及加工难易程度相近时，采用该法较为合适。

②按等精度的原则分配封闭环公差，亦即令各组成环的精度相等。按等精度法来分配各组成环的公差值分配时，应使各组成环公差之和小于或等于封闭环的公差，并应使各组成环公差Ti 与公差单位ii 之比（即精度系数a）恒为常数，即

按照产品几何技术规范（GPS）极限与配合国家标准GB/T 1800．1—2009的第1部分：公差、偏差和配合的基础，对于尺寸在500mm 以内，精度等级在IT5～IT18范围内，其标准公差因子可以按下式计算。

式中，A 为被研究表面的基本尺寸。

因此，可以根据被研究表面的基本尺寸计算出公差单位，考虑式（3-19）、式（3-20）可以得出各组成环的公差为

这种方法在工艺上是合理的。

③利用协调环分配封闭环公差。如果尺寸链中有一些难以加工和不宜改变其公差的组成环，利用等公差和等精度法分配公差都有一定困难。这时可以把这些组成环的公差首先确定下来，只将一个或极少数几个比较容易加工，或在生产上受限制较少、用通用量具容易测量的组成环定为协调环，用来协调封闭环和组成环之间的关系。这时有

式中，为协调环公差。

协调环又称为“相依尺寸”，意思是该环尺寸公差相依于封闭环和其他组成环的尺寸公差，因此这种计算方法又称为“相依尺寸公差法”。

通常在解决尺寸链反计算问题时，先按方法①求各组成环的平均公差，再按加工难易、尺寸大小进行分配和协调。

各组成环公差的分布位置，一般来说，对外表面（被包容面），尺寸按人体标注成单向负偏差；对内表面（包容面），尺寸按人体标注成单向正偏差；对孔心距，则标注成对称偏差。然后按式（3-13）、式（3-14）进行校核，若不符合，则再做调整。为了加快调整，可采用协调环的办法，即先根据上述原则确定出其他组成环的上、下偏差，再根据封闭环的上、下偏差及已确定的组成环上、下偏差计算出协调环的上、下偏差。

利用“相依尺寸公差法”求解尺寸链时，公差的确定与设计人员的工艺工作的经验有关，一般情况下对难加工的、尺寸较大的组成环，将其公差给大些。

下面举例说明式（3-10）～式（3-18）的应用。

【例3-2】计算如图3-15（a）所示主轴部件装配后其轴向间隙A0。已知。

解：①画出尺寸链图[见图3-15（b）]。

②找出封闭环、增环和减环。因为A0 是由加工A1、A2、A3 过程最后形成的一环，所以是封闭环。再根据A0 在尺寸链中的位置可判断A1 为增环，A2、A3 为减环。

该例题是已知组成环，求封闭环的正计算问题。

③计算：

所以封闭环尺寸为，其轴向间隙为0．05～0．42mm。

【例3-3】轴套加工，如图3-21（a）所示，要求端面A 对装配基准外圆C 的轴线垂直度为0．05/240，端面B 对外圆C 之轴线垂直度为0．05/120。

图3-21 角度尺寸链计算

工件的加工过程如下：

①粗加工A 面、B 面、E1 孔、E2 孔和外圆C；

②半精车A 面、B 面及半精镗E1 孔；

③以A 面及E1 孔为定位基准，半精车C 面、B 面及半精镗E2 孔，要求B∥A，其交角，T1 为B 面对A 面平行度允许公差；

④以A 面及E1 孔为定位基准（定位后将心轴撤去），精加工E1 孔、E2 孔和外圆C，要求C⊥A，其交角为。

通过上述工艺过程可知C⊥B，其交角为，它是通过工序3（有B∥A）和工序4（有C⊥A）最后形成的一环，所以β0 为封闭环。为满足外圆C 的轴线与端面B 的垂直度要求（T0），确定工序3中B 面对A 面的平行度要求（T1）。

解：①画出尺寸链图[见图3-21（b）]。

②β0 为封闭环，β1、β2 为组成环。此题是已知封闭环和组成环，求另一个组成环的中间计算问题。

③计算：

而

T2＝0．05/240; T0＝0．05/120

故

0．05/120＝T1＋0．05/240

T1＝0．05/120

【例3-4】如图3-22（a）所示，在数控机床上加工箱体零件上的两个孔，中心距为L0＝100±0．010mm；水平夹角为β＝30°。求坐标尺寸Lx、Ly 的基本尺寸及公差。

解：①画出尺寸链图。由尺寸Lx、Ly、L0 组成一平面尺寸链[见图3-22（b）]。

②中心距L0 是封闭环。在加工中是由Lx、Ly 间接得到的，Lx、Ly 是组成环。此题是已知封闭环求组成环的反问题。

图3-22 坐标尺寸计算

③计算：

计算平面尺寸链时，将各组成环向封闭环作投影，分别为L1、L2，L1、L2、L0 构成了新的尺寸链且是直线尺寸链。

基本尺寸：

Lx＝L0·cosβ＝100·cos30°＝86．6(mm)

Ly＝L0·sinβ＝100·sin30°＝50．0(mm)

公差：设本例题采用等公差法进行计算。

因

故

公差带按对称分布，则有：Lx＝（86．6±0．0073）mm，Ly＝（50±0．0073）mm。

（二）用计算法确定工序尺寸

在加工过程中，各工序所达到的尺寸称工序尺寸，也就是在工序图上所标注的尺寸。零件图上的尺寸、公差是毛坯经过多道工序加工之后最终达到的尺寸。每个表面的最终工序的尺寸等于零件图尺寸，而中间工序的尺寸需要根据零件的工艺路线及相关手册上数据求出，这就是工序尺寸的确定。

1.经过几道工序加工所形成的表面的工序尺寸计算

【例3-5】如图3-23所示为一平面经过粗加工、精加工和光整加工三道工序达到零件上规定尺寸和公差，要求计算各工序尺寸。

图3-23 经过几道工序加工所形成的表面的工序尺寸计算

解：加工该表面时定位基准不变，各工序尺寸都从同一基准标出。对这一类的工序尺寸，只要将各工序的基本余量及公差，根据现场经验或查有关手册确定后，就可按工艺过程的顺序由后向前逐步计算得到。某工序的工序尺寸等于下一个工序的工序尺寸加上（对内表面是减去）下一工序的基本余量。这种工序尺寸的计算只牵涉余量，不涉及基准转换，可不用尺寸链来计算。

在图3-23中，若光整加工、精加工、粗加工等各工序的基本余量和精加工、粗加工、毛坯的公差，经查手册分别为Z4、Z3、Z2 和T3、T2、T1，且已知光整加工的工序尺寸为A4、T4（零件图上的尺寸），则得

精加工工序尺寸 A3＝A4＋Z4；公差T3

粗加工工序尺寸 A2＝A3＋Z3；公差T2

毛坯尺寸 A1＝A2＋Z2；公差T1

铸造和锻造的毛坯都规定双向偏差，但当计算毛坯尺寸时只取人体方向的偏差值T1。

2.工序基准与设计基准不重合而引起的工序尺寸计算

在加工过程中，有时为了定位、加工、测量或调整方便，将零件图上的尺寸改变注法，由此而引起的工序尺寸计算又称为尺寸换算。它是由于设计基准与工序基准不重合而造成的，因此这种工序尺寸只牵涉基准转换而不涉及余量，可用工艺尺寸链来计算。

【例3-6】如图3-24（a）所示是皮带运输机滚筒零件图。尺寸的标注方法不便于测量，因此可改为如图3-24（b）所示的标注方法，通过测量A2、A3 的尺寸来保证，且A2＝A3 的尺寸。要求确定工序尺寸A2、A3。

解法一：(https://www.daowen.com)

①画出尺寸链图[见图3-24（c）]。

②为封闭环，是由尺寸A1、A2、A3 间接得到的，为增环，A2、A3为减环。

图3-24 皮带运输机滚筒的工作尺寸换算

③计算：

A0＝A1－(A2＋A3)

A2＋A3＝A1－A0＝750－720＝30

故

A2＝A3＝15

Aomax＝A1max－(A2min＋A3min)

A2min＋A3min＝A1max－A0max＝750．4－720．6＝29．8

由此得

A2min＝A3min＝14．9

A0min＝A1min－(A2max＋A3max)

A2max＋A3max＝A1min－A0min＝750－720＝30

得

A2max＝A3max＝15

由上求得A2、A3 的工序尺寸为

解法二：

从零件图中的尺寸标注及形成的尺寸链结构来看，在水平方向都是对称的，因此可以按一半求解对称尺寸链，这时尺寸链就由三个环组成，如图3-24（c）所示，尺寸A0、A1 就变成原尺寸链的一半，求解时各环的性质不发生变化，而应将它们的基本尺寸、上偏差、下偏差分别除以2代入极值法计算公式。

故

由此得

得

A2max＝A3max＝15

由上求得A2、A3 的工序尺寸为

可以看出，按对称性分半求解方法比较简单。

讨论：

零件设计尺寸为A0，在加工过程中为了方便测量，工序尺寸变为A2、A3，即加工过程中直接保证的尺寸为A2、A3，加工要求。假如A2、A3 不在范围内，是否该零件就成为废品？比如A2＝A3＝14．8，当A1＝750时，A0＝750－2×14．8＝720．4，在尺寸的允许范围内，所以该零件是合格的。当A1＝750．4时，A0＝750．4－2×14．8＝720．8，不在尺寸的允许范围内，所以该零件是不合格的。可以看出，当A2、A3 超出计算的尺寸范围时，加工的零件不一定是废品，在这种情况下还应测量其他组成环尺寸进行计算或直接测量封闭环尺寸，以确定零件是否是真废品。下面确定出现假废品的尺寸范围。

由尺寸链可以算出，当封闭环A0、其他组成环A1 尺寸合格时：

上两式相减可得

从上式可以看出，A2、A3 的公差之和等于尺寸链其他组成环公差之和，A2、A3 岂不是封闭环吗？的确如此。因为这里研究的是A0、A1 的变化对A2、A3 的影响，就是在保证A2、A3合格（直接保证）的情况下A0、A1 的变化范围，所以A2、A3 是封闭环。计算说明如果A2、A3的尺寸变化范围不超过尺寸链中其他环的公差之和时，可能出现假废品。将上式进一步变换：

可以得出如图3-24（e）所示的废品分布图，T1 是除封闭环及工序尺寸以外的所有组成环公差之和，生产中利用该图可以确定加工零件废品的性质。实际上，在加工工序中，若工序基准和设计基准不重合时，也会出现假废品的情况。可以采用两种办法判断是否为假废品：①设法直接测量在假废品尺寸范围的设计尺寸（封闭环）；②如果无法直接测量设计尺寸，需逐一测量相关组成环，通过计算判断是否为假废品。

按上述分析本题的计算结果为：正品区；假废品区及；真废品区（A2＝A3 小于14．7及大于15．2）。

【例3-7】如图3-25（a）所示是加工阶梯板的零件图，其高度方向的设计尺寸为及。加工过程如下。

①以面1为基准加工面3，保证工序尺寸。

②为了定位和调整方便，仍然用面1为定位基准加工面2，保证工序尺寸A2，如图3-25（b）所示。

图3-25 阶梯板加工的工序尺寸计算

为满足设计尺寸的要求，计算工序2的工序尺寸A2。

解：①画出尺寸链图[见图3-25（c）]。

②为封闭环，为增环，A2 为减环。

③计算基本尺寸：A2＝A1－A0＝80－35＝45；

上偏差：；

下偏差：。

因此，工序2的尺寸为，取人体方向为。

3.从尚需继续加工表面标注的工序尺寸计算

这类工序尺寸，既涉及加工余量，也涉及基准转换。

【例3-8】图3-26（a）为加工齿轮内孔和键槽的简图，设计尺寸为键槽深及孔径。加工过程如下：

①拉（或镗）内孔，至尺寸；

②拉（或插）键槽，至尺寸A；

③热处理（淬火）；

图3-26 加工内孔和键槽的工序尺寸计算

④磨内孔，至尺寸。

求工序尺寸A。

从加工过程看出，工序尺寸A 是从尚需继续加工的孔表面标注的，键槽深是通过工序①、②、④间接得到的。

解：①由于直径的尺寸基准都为孔的水平轴线，可以以水平轴线为基准画出尺寸链，如图3-26（b）所示。

②尺寸A0＝43．6为封闭环，尺寸A 和为增环，尺寸为减环。

③计算基本尺寸：A＝A0－R＋r＝43．6－20＋19．8＝43．4；

上偏差：；

下偏差：。

因此，工序尺寸为，或取人体方向标注为。

为了分析磨孔时半径加工余量Z 对键槽深度的影响，也可将尺寸链分解为两个并联的尺寸链进行计算，如图3-26（c）所示，其公共环为余量Z。

由尺寸R、r、Z 所构成的尺寸链中，Z 为封闭环，R 为增环，r为减环，由此可计算出如下余量。

基本余量：Z＝R－r＝20－19．8＝0．2；

最大余量：Zmax＝Rmax－rmin＝20．025－19．8＝0．225；

最小余量：Zmin＝Rmin＝rmax＝20－19．85＝0．15。

因此，。

由尺寸A0、A、Z 所构成的尺寸链中，A0 为封闭环，Z、A 为增环，由此可计算出如下偏差。

基本尺寸：A＝A0－Z＝43．6－0．2＝43．4；

上偏差：；

下偏差：。

因此，工序尺寸A 为。

计算结果与上面解法完全一样。

思考：本题的尺寸链可否采用例题3-6解法一中的方法，采用直径来构成尺寸链？

4.对某表面进行加工，要同时保证多个设计尺寸的工序尺寸计算

【例3-9】图3-27（a）为被加工阶梯轴的轴向尺寸简图。

因为端面M 的表面粗糙度值很小，故需磨削M 面，并要求同时保证两个设计尺寸和100±0．15。加工过程如下。

①以M 面为基准，精车N 面、Q 面，至尺寸及A2，见图3-27（b）。

②以N 面为基准，磨削M 面，至尺寸。尺寸A0＝100±0．1 5是间接得到的，如图3-27（c）所示。

求工序尺寸A2。

解：①画出如图3-27（d）所示的尺寸链。

图3-27 保证多个尺寸的工序尺寸计算

②尺寸A0 为封闭环，A2、A3 为增环，A1 为减环。

③计算：

基本尺寸：A2＝A0－A3＋A1＝100－30＋30．25＝100．25；

上偏差：；

下偏差：。

因此，工序尺寸A2 为。

此例也可按并联尺寸链分为两个尺寸链进行计算。

5.表面处理的工序尺寸计算

为了改善零件的表面性能，提高零件的表面质量及美化零件外观，常需对零件表面进行电镀（镀铬、铜、锌等）、渗碳、渗氮、氰化等处理，零件图上还规定了处理层的厚度，由于处理前的表面需要加工，处理后的表面可能加工也可能不加工，无论什么样的工艺要求，都需要计算相关的工序尺寸，下面以电镀为例，说明表面处理的工序尺寸计算。