隐函数求导法则

二、隐函数求导法则

一元隐函数的求导方法前面已经学习过，现在从另一个角度来讨论这个问题.

设方程F（x，y）=0所确定的隐函数y=f（x）的导数存在，函数F（x，y）在点（x，y）的某个邻域内有连续的偏导数F′x（x，y）和F′y（x，y），且F′y（x，y）≠0，则隐函数y=f（x）的导数为

这是因为将方程F（x，y）=0所确定的隐函数y=f（x）代入F（x，y）=0，得恒等式F（x，f（x））≡0.

上式左端可看作是x的复合函数，求其导数，得

又因为F′y≠0，所以整理得公式（2.11）.

例6 求由方程sin（x+y）=xy所确定的隐函数y的导数.

解 设F（x，y）=sin（x+y）-xy，则

代入公式（2.11），得

需要注意的是，在用公式（2.11）求时，计算F′x、F′y，要把x、y看成两个独立的变量，不能再把y看成x的函数.

类似地，由三元方程F（x，y，z）=0可以确定一个二元隐函数z=f（x，y）.设函数F（x，y，z）在点（x，y，z）的某个邻域内，有连续的偏导数F′x（x，y，z）、F′y（x，y，z）、F′z（x，y，z），且F′z（x，y，z）≠0，则在点（x，y，z）的某个邻域内，由三元方程F（x，y，z）=0可以确定一个二元隐函数z=f（x，y），且