傅里叶级数的内涵

一、傅里叶级数的内涵

1.三角函数系的正交性

函数族：1，cos x，sin x，cos2x，sin2x，…，cos nx，sin nx，…，称为三角函数系.

定理1（三角函数系的正交性） 三角函数系中任意的两个不同函数的积在[-π，π]上的积分等于0，即

2.傅里叶级数的概念

称函数项级数

为傅里叶级数，a0，an，bn （n=1，2，…）称为傅里叶级数的系数，简称为傅里叶系数.

定理2（收敛定理） 设函数f（x）是以2π为周期的周期函数，若在一个周期[-π，π]上满足条件：

（1）f（x）是连续函数或者仅有有限个第一类间断点.

（2）f（x）仅有有限个极值点，则f（x）的傅里叶级数收敛，且有

当x是f（x）的连续点时，f（x）的傅里叶级数的收敛于f（x）；

当x是f（x）的间断点时，f（x）的傅里叶级数收敛于这一点处的f（x）的左、右极限的算术平均值.