函数展开成傅里叶级数
设f（x）是以2π为周期的周期函数，要将其展开成傅里叶级数：
例1 设f（x）是以2π为周期的函数，它在[-π，π]上的表达式为
将f（x）展开成傅里叶级数.
解 所给函数在点x=kπ（k=0，±1，±2，…）处不连续，在其他点都连续，满足收敛定理的条件.它可以展开成傅里叶级数，其傅里叶系数为
图4-1
应当注意，如果函数f（x）只在[-π，π）上有意义，并且满足收敛定理的条件，那么我们可以在[-π，π）外补充函数f（x）的定义，使它拓广成以2π为周期的周期函数F（ x），按这种方式拓广函数的过程称为周期延拓，这样F （x）就是以2π为周期的周期函数，而且满足收敛定理的条件，我们可以将F （x）展开成傅里叶级数，然后限制x在[-π，π）内，此时F （x）≡f（x），这样就得到了f（x）的傅里叶级数展开式，根据收敛定理，该傅里叶级数在区间端点x=±π处收敛于
.
例2 将函数
展开成傅里叶级数.
解 所给函数在区间[-π，π）上满足收敛定理条件，把它拓广成以2π为周期的函数.因为函数f（x）在[-π，π）上连续，所以拓广后的周期函数的傅里叶级数在[-π，π）上收敛于f（x）.计算傅里叶系数如下：
函数图形如图4-2所示.
图4-2
在收敛定理中，f（x）是以2π为周期的函数，或者定义在[-π，π）上然后做以2π为周期的延拓的函数，下面讨论以2l为周期的函数的傅里叶级数展开式.
定理3 设周期为2l的周期函数f（x）满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为
例3 设f（x）是周期为4的周期函数，它在[-2，2）上的表达式为
将f（x）展开成傅里叶级数.
解 这时l=2，按公式（4.6）有
f（x）的傅里叶级数函数的图形如图4-3所示.
图4-3
应当注意的是，在实际应用中，有时需要把定义在[0，l]（或[-l，0]）上的函数展开成余弦级数或者正弦级数.为此，先把定义在[0，l]（或[-l，0]）上的函数作偶式延拓或作奇式延拓到[-l，l]上，然后求延拓后函数的傅里叶级数.但是，对于定义在[0，l]（或[-l，0]）上的函数，将它展开成余弦级数或正弦级数时，可以不作延拓而直接由公式（4.7）或公式（4.10）计算傅里叶系数.
例4 把f（x）=x在（0，2）内展开成：
（1）正弦级数；（2）余弦级数.
解 （1）为了要把f（x）展开为正弦级数，对f（x）作奇式周期延拓（图4-4），并由公式（4.7）有
所以当x∈（0，2）时，由公式（4.6）及收敛定理得到
图4-4
但当x=0，2时，右边级数收敛于0.
（2）为了要把f（x）展开为余弦级数，对f（x）作偶式周期延拓（图4-5）.由公式（4.10）得f（x）的傅里叶系数为
，
图4-5
