2.1.6 随机误差的分布与特点
由于随机误差的存在，实验数据会围绕真值有所起伏，对某一次测量，这种起伏是不可预测的，若进行多次测量，就会发现，实验数据常满足一定的统计分布规律，可用一定的分布函数来描述。物理实验中常遇到的典型分布有正态分布和t分布。在实验中若影响测量结果的因素很多很细微且相互独立，则当测量次数无限时，实验数据服从正态分布；当测量次数有限时，实验数据服从t分布。
（1）正态分布（高斯分布）
1）正态分布的公式
服从正态分布的随机误差的概率密度函数，见式（2.6）
正态分布概率密度曲线（图2.2）具有的特点是：
①单峰性：绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大。
②对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相同。
③有界性：绝对值很大的误差出现的概率很小，且不超过一定的界限。
为误差界限。
④抵偿性：误差的算术平均值随着测量次数的增加而趋于零。
图2.2 正态分布概率密度曲线(https://www.daowen.com)
2）标准差σ的意义
标准差σ是指对称的正态分布概率密度曲线上两个拐点间距离的一半。σ的大小反映了测量值与真值的偏离程度，或各测量值之间的离散程度。由图2.3可见，随着σ的增大曲线趋于平坦，峰值高度降低，对应着测量值间的差别增大，即离散程度增大。
图2.3 不同标准差的正态分布概率密度曲线
概率密度曲线下的面积是概率。对于正态分布，计算可得曲线下两拐点间的面积约为68.3%。这一数值的意义是：在等精度测量的一系列测量值中，任何一次测量值落在
的概率为68.3%，任何一次测量值的误差落在－σ～＋σ的概率为68.3%。通过计算还可得知，曲线下在－2σ～＋2σ的面积约为95%，曲线下在－3σ～＋3σ的面积约为99.7%。这两个数值的概率意义与前相似，即任一次测量值落在
的概率为95%，或任一次测量值的误差落在－2σ～＋2σ的概率为95%。图2.3中x0是峰值的横坐标，对应着最大概率密度。峰值的位置x0是测量次数n→∞的平均值。很明显，测量偏差大于3σ的概率仅为0.3%，对于有限次的测量，这种可能性微乎其微，因此可以认为是测量失误，该测量值是“坏值”，应予以剔除。这就是很有用的3σ判断。
（2）t分布
测量次数趋于无穷只是一种理论情况，这时物理量的概率密度服从正态分布。当测量次数减少时，概率密度曲线变得平坦，称为t分布，也称学生分布。正态分布就是t→∞时的特例。当测量次数只有几次时，正态分布算出的偏差值比t分布算出的结果偏小一些，需要查表修正。本书约定，只要是多次测量，随机误差按t分布进行估算。
t分布有如下特征：
①以0为中心，左右对称的单峰分布。
②t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确切地说与自由度ν）大小有关。自由度ν越小，t分布曲线越低平；自由度ν越大，t分布曲线越接近标准正态分布曲线，如图2.4所示。
图2.4 t分布曲线图
