三段论及其一般规则
一次，英国大作家萧伯纳正在漫步沉思，被一位出版商撞见了。
“先生，如果您能让我知道您正在想什么，我愿意出一英镑给您。”出版商说。
“我想的东西是不值一英镑的。”萧伯纳回答道。
“是吗，那您在想什么呢?”出版商兴致很高地问。
“我想的是你。”萧伯纳笑着回答。
愿意出一英镑来了解萧伯纳在想什么，这明摆着是对这位大作家人格的污辱。面对这样一个浅薄的出版商，萧伯纳用一个巧妙的推理回敬了他：
我想的东西是不值一英镑的；
你是我想的东西；
所以，你是不值一英镑的。
这个推理就是三段论。那么，什么是三段论呢?三段论就是由两个包含着一个共同项的性质判断作前提推出一个新的性质判断作结论的推理。上面这个三段论中作为前提的两个性质判断包含了“我想的东西”这个共同项。
任何一个三段论都包括小项、大项和中项三个概念(亦称“词项”)。结论的主项称作小项，用英语字母S表示；结论的谓项称为大项，用P表示；在前提中两次出现、在结论中不出现的那个项称为中项，用M表示。三段论推理就是借助中项的媒介作用把小项和大项的逻辑联系确定下来，从而推出结论的，因此，中项又称为媒概念。例如，上面那个三段论只包含“你”“我想的东西”“不值一英镑的”三个概念，其中，“你”是小项，“不值一英镑的”是大项，“我想的东西”是中项。
任何一个三段论都是由三个判断组成的，这三个判断分别称为大前提、小前提和结论。包含大项的那个前提称为大前提，包含小项的那个前提称为小前提，结论是推理得到的新判断。在上述三段论中，“我想的东西是不值一英镑的”是大前提，“你是我想的东西”是小前提，“你是不值一英镑的”是结论。
三段论推理是以其公理作为初始依据的。三段论的公理是：一类对象的全部是什么或不是什么，那么，这类对象中的部分也是什么或不是什么。换言之，当我们对一类对象的全部有所断定时，我们对它的部分也有所断定。
三段论的公理可用下图表示：
在左图中，所有的M都是P，S是M的一部分，因此，所有的S都是P。例如：
所有的人都是会犯错误的；
你是人；
所以，你也是会犯错误的。
在右图中，所有M都不是P，S是M的一部分，因而，所有的S都不是P。例如：
所有的自然科学都不是有阶级性的；
物理学是自然科学；
所以，物理学不是有阶级性的。
三段论的一般规则是判定一个具体的三段论是否有效的标准。仅仅根据三段论的公理很难判定一个三段论是否有效。为判定一个三段论是否有效，还需要确立一些一般规则。三段论的一般规则有七条，一个三段论当且仅当满足七条一般规则时，它才有效。
(1)一个正确的三段论有且只有三个不同的概念。
一个正确的三段论只能有三个概念，不能少，也不能多。当只有一个概念时，作出判断都是不可能的，更谈不上推理。当只有两个概念时，只能形成一个判断和在这个判断的基础上作对当关系或判断变形的直接推理，但无法构成三段论推理。比如，当给定“狗”与“动物”两个概念时，我们只能作出“所有狗是动物”或“有些动物是狗”两个判断。根据对当关系推理，从“所有狗是动物”，可以推出“有些狗是动物”的结论；根据换位法，从“所有狗是动物”可以推出“有些动物是狗”的结论。当一个三段论多于三个概念，则会犯“四概念”的逻辑错误，无法确保推出结论的必然性。一个三段论犯“四概念”的逻辑错误往往是由于中项在大、小前提中的含义不同造成的。常见的“四概念”错误表现为：
第一，语词形式相同，但表达的概念不同。
例如：
运动是永恒的；
中长跑是运动；
所以，中长跑是永恒的。
这个推理显然是错误的。原因在于中项“运动”这个语词在大、小前提中相同，但含义不同；在大前提中“运动”这个语词表达的是舍去了各种具体规定性的哲学意义上的“运动”概念，运动的具体形态可以变化，但运动却始终存在。在小前提中，“运动”这一语词表达的是体育运动场上运动员克服摩擦阻力创造最快速度的机械运动。作为一种具体的机械运动，必然有其开端，有其终结。
第二，作为中项的语词在大前提中表达集合概念，在小前提中表达非集合概念。
例如：
毛泽东的著作不是一天能读完的；
《为人民服务》是毛泽东的著作；
所以，《为人民服务》不是一天能读完的。
这个推理的无效是非常明显的，因为《为人民服务》篇幅很短，几分钟便可读完。为什么会出现错误呢?这是因为在大前提中“毛泽东的著作”这一语词表达的是集合概念，它不是指毛泽东的某一篇著作，而是指由毛泽东所有著作构成的集合体，对于这个集合体，当然是一天读不完的。在小前提中，“毛泽东的著作”是一个非集合概念，它仅仅指《为人民服务》这一篇文章，这篇短文当然并非不是一天能读完的，而是几分钟就可读完的。
第三，作为中项的语词由于缺乏必要的限制，以致在大、小前提中表达不同的概念。我们不妨看一看故事《长命福气好》。
奶奶拉着小孙子夸奖说：“这个小宝贝，准是长命福气好!”
“奶奶，您是怎么知道的?”小孙子不解地问道。
“你的耳朵特别大，耳朵大的都是长命福气好的。”奶奶解释说。
“那猪的耳朵更大，它就更长命福气好了。”孙子得出了一个荒唐的结论。
以上故事中，奶奶的推理是这样的：
所有耳朵大的都是长命福气好的；(https://www.daowen.com)
小孙子是耳朵大的；
所以，小孙子是长命福气好的。
奶奶的这个推理从形式上看是有效的，但是它的大前提却是虚假的，因而不能必然地推出“你是长命福气好的”这个结论。因为要使一个推理推出必然真实可靠的结论，需要满足“形式有效”和“前提真实”两个条件，但奶奶的推理没有满足“前提真实”这一条件。
小孙子听了奶奶的话后作出了如下的推理：
所有耳朵大的都是长命福气好的；
猪是耳朵大的；
所以，猪是长命福气好的。
小孙子的推理实际上在反驳奶奶“所有耳朵大的都是长命福气好的”这一观点，因为猪的耳朵大但并不是长命福气好。但这个反驳所运用的推理形式是无效的，因为奶奶说的“耳朵大的”是指耳朵大的人，并不是指耳朵大的所有动物。因而，孙子使用的这个三段论推理，其大前提中的“耳朵大的”和小前提中的“耳朵大的”并不是同一个概念，即犯了“四概念”的逻辑错误。
(2)中项在前提中至少要周延一次。
这条规则指的是中项在前提中必须周延一次，可以周延两次，也可以不周延两次。中项要起到媒介作用，必须至少有一部分同时和大、小项保持联系。当中项周延一次时，就能满足这一要求。违背这一规则就会犯“中项一次也不周延”的逻辑错误。例如，我们常听到某些领导这样为自己辩护：“别的领导能以权谋私，我为什么不能呢?”它可以整理成以下三段论：
有些领导干部能以权谋私；
我是领导干部；
所以，我能以权谋私。
这一推理的结论显然是错误的。错误的原因在于中项“领导干部”在大、小前提中都没有周延。因此，必须指出，别人怎样做绝不能作为“我”也能怎样做的依据。把它作为依据进行推理，得出的结论不具有必然性。
(3)在前提中不周延的项在结论中不得周延。
中项在结论中不出现，因此，这条规则是规定大、小项的。换言之，不能扩大大、小项的周延性，当大、小项在前提中不周延时，它们在结论中也不得周延。这是因为结论是从前提推出的，当在前提中仅断定大项或小项的部分外延，在结论中也只能断定大项或小项的部分外延；否则，就不能保证结论必然为前提所蕴涵，即不能必然推出结论。违反这条规则就会犯“大项不当周延”或“小项不当周延”的逻辑错误。“大项不当周延”又称“大项扩大”，它是指大项在前提中没有周延而在结论中周延。“小项不当周延”又称“小项扩大”，它是指小项在前提中没有周延而在结论中周延。例如：
所有的语文教师都是要说好普通话的；
我不是语文教师；
所以，我不是要说好普通话的。
这一三段论推理中，大项“要说好普通话的”在前提中不周延而在结论中周延。因此，这一推理犯了“大项不当周延”的逻辑错误。
又如：
金子是闪光的；
金子是金属；
所以，所有金属都是闪光的。
在这一推理中，小项“金属”在前提中不周延而在结论中周延。因此，这一推理犯了“小项不当周延”的逻辑错误。
(4)两个否定前提推不出结论。
从外延方面看，否定判断就是断定主、谓项外延的相应部分互相排斥。当一个三段论的两个前提都是否定时，这意味着断定中项和大、小项外延的相应部分都相互排斥。这样，中项就无法起到媒介作用，大、小项的关系就无法确定，从而不能必然地推出结论。具体说来，当大、小前提都是否定判断时，前提的组合形式有四种情形：大、小前提都是E判断；大、小前提都是O判断；大前提是E判断，小前提是O判断；大前提是O判断，小前提是E判断。从外延角度看，三段论的两个前提无论是上述四种情形中的哪一种情形，S、P的外延关系存在五种可能，即：可能是全同关系，可能是包含于关系，可能是包含关系，可能是交叉关系，可能是全异关系。这就是说，S、P的外延关系无法确定，无法必然推出结论。例如：
所有有毒的物品都不能食用；
这些物品不是有毒的物品；
所以，这些物品……
从上述两个否定前提出发，我们既不能必然推出“这些物品都不能食用”；也不能必然推出“这些物品都能食用”。
(5)前提之一为否定时，结论为否定；结论为否定时，前提之一为否定。
前提中有一个否定判断，这就是说或者中项和大项相容而和小项相排斥，或者中项和大项相排斥而和小项相容。由此，只能断定大、小项在外延上相排斥，而不能断定大、小项在外延上相容，因而结论是否定的。同理，可以断定当结论否定时，前提判断中必有一个是否定的。例如：
犯贪污罪的都是国家公务人员；
他不是国家公务人员；
所以，他不会犯贪污罪。
(6)两个特称前提不能推出结论。
当两个前提都是特称判断时，前提判断的组合有三种情况：两个前提都是O判断；两个前提都是I判断；一个前提是I判断，另一个前提是O判断。在这三种情况下都不能必然地推出结论。
当两个前提都是O判断时，根据规则(4)，不能推出结论。
当两个前提都是I判断时，因为I判断的主、谓项都不周延，所以中项在前提中一次也没有周延。根据规则(2)，不能推出结论。
当两个前提分别是I判断和O判断时，因为I判断主、谓项都不周延，O判断主项不周延、谓项周延，这样，前提中只有一个周延的项。根据规则(2)，中项在前提中至少要周延一次，因而前提中唯一周延的那个项必须是中项，否则就会犯“中项一次也没有周延”的逻辑错误。这样，大、小项在前提中都不周延。根据规则(5)，前提中有一否定，结论必然否定。由于两个前提分别为I判断和O判断，如能推出结论，结论必须是否定的，也就是大项在结论中周延。但大项在前提中不可能周延，根据规则(3)，在前提中不周延的项在结论中不得周延，所以，不能推出结论。
(7)前提之一特称，则结论特称。
前提之一是特称的，这意味着中项或者和大项的部分外延相容，或者和小项的部分外延相容。借助中项的媒介作用而推出的结论中，大项和小项在外延方面也只能是一部分相容，而不可能全部相容，即结论只能是特称判断。前提之一特称，根据规则⑥，可知另一前提为全称。因而，包括一个特称判断的两个前提共有四种不同的组合情况；大前提为A判断，小前提为I判断；大前提为A判断，小前提为O判断；大前提为E判断，小前提为I判断；大前提为E判断，小前提为O判断。在这四种情况下，若能推出结论的话，结论必定是特称的。
上述七条一般规则中，前三条是关于词项(概念)的，后四条是关于前提和结论的。把它们称作一般规则是为了区别于三段论各格的具体规则。
对于一个非专业的逻辑工作者来说，重要的不在于掌握这些规则以及后面要涉及的各格特殊规则的证明，而在于运用这些规则快速判明一个具体三段论形式是否有效，能否必然推出结论。