逻辑悖论
圣诞节快来临了，先生们纷纷前往理发店理发。某镇只有一个小小的理发店，这可把理发师忙坏了。对于理发师来说，既麻烦又花时间的是刮胡子。为减轻工作量，理发师作出规定：本理发师只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。这样一来，那些偶尔或大部分时间给自己刮胡子的人就享受不了刮胡子的服务项目，自然减轻了理发师的工作量。过了两天，理发师发现自己也胡子拉碴的，需要修刮一下。当他拿起剃刀正要下手刮胡子时，顿时觉得不能给自己刮胡子。因为根据规定，他只能给那些不给自己刮胡子的人刮胡子，一旦给自己刮胡子，他就成了给自己刮胡子的人，所以不得给自己刮胡子。当他放下剃刀不给自己刮胡子时，又觉得必须给自己刮胡子。因为当他不给自己刮胡子时，他就属于那些不给自己刮胡子的人，根据规定，他又必须给自己刮胡子。因此，手中的剃刀举起又放下，放下又举起，反复多次，也决定不了是否给自己刮胡子。
聪明的读者，请你给理发师出个主意，他究竟该不该给自己刮胡子?
在上述难题中，由理发师给自己刮胡子推出他不该给自己刮胡子，由他不给自己刮胡子又推出他该给自己刮胡子，如此反复循环。这类逻辑难题就是悖论。悖论是一种包含特殊逻辑矛盾的判断，由这一判断的真，可推出它是假的；由这一判断的假，又可推出它是真的。换言之，它是一种自相矛盾的命题。悖论包括语义悖论和逻辑数学悖论两类。本节只简要讨论语义悖论。
最古老的语义悖论是古希腊的“说谎者悖论”。它通常表述为：“我正在说的这句话是假的”。由此便会产生一个问题：“说自己正在说谎的人，他的这句话究竟是不是假的?”对这个问题的回答，就会出现悖论：当他(说谎者)真的说假话，但他又告诉你“我正在说的这句话是假话”，那么这句话是真话，即他没有说假话。既然是真话，他说他在说谎，那么他又在说假话。
这种语义悖论可用语言层次理论来解决。语言层次理论认为语言是分层次的，某一层次的语言不能在自身中讨论它的表达式的真假，必须在高一层次的语言中进行讨论。在说谎者悖论中，悖论的产生是由于没有把语言作层次划分，错误地把“我正在说的这句话是假的”记作“p”，把“‘我正在说的这句话是假的’是假的”记作“p是假的”，这就把两个不同层次的语言混淆为同一层次的语言，从而使“p”断定了自身是假的。根据语言层次理论，这是没有意义的。当我们明确地把“p”和“p是假的”理解为不同的层次，就不会出现悖论。
英国数学家朱迪安把“说谎者悖论”发展为“双重式说谎者悖论”。由于这一悖论是写在卡片上的，所以又称作“朱迪安卡片悖论。他在一张卡片的一面写着：
卡片的另一面写的是：
当我们来考察卡片两面的话是真还是假时，就会出现悖论。当第一句话为真时，第二句话就是真的(因为第一句话说它是真的)；既然第二句话为真，第一句话也就是假的(因为第二句话说它是假的)。当第一句话为假时，第二句话就是假的(因为第一句话说它是真的)；既然第二句话为假，第一句话也就是假的(因为第二句话说它是假的)。这就是说，第一句话为假是假的，因而第一句话为真。由此可见，第一句话真当且仅当第一句话假。但这是不可能的。(https://www.daowen.com)
这里也牵涉到语言层次问题，也就是没有把语句“p”和对语句“‘p’的断定”区别开来，而是混为一谈，因此，出现了悖论。
而“理发师悖论”的出现，则是由于没有区分“自指”和“他指”。理发师规定“只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子”，这里的“自己”应是“他指”，即指理发师本人以外的他人；而不是“自指”，即不是指理发师本人。区分开了“自指”和“他指”，排除“自指”，自然就不会出现“理发师悖论”。
下面请看普罗泰戈拉悖论：
普罗泰戈拉是古希腊著名的辩论家和法律专家，不少年轻人慕名前来向他学习。一次，普罗泰戈拉收了一个名叫欧提勒斯的有才气的穷弟子，后者因为贫穷无法一次付清学费。普罗泰戈拉就和欧提勒斯签订了一份合同，合同规定：欧提勒斯学习期间交一半学费，另一半学费待他毕业后打赢头场官司之后才交。但欧提勒斯毕业后偏偏不去跟别人打什么官司，另一半学费自然也就没交给老师。这样一拖就拖了很长时间。为了讨回另一半学费，普罗泰戈拉就到法庭告了弟子一状，请求法庭裁决让欧提勒斯交另一半学费。下面是普罗泰戈拉在法庭上提出的要求欧提勒斯交另一半学费的理由：
如果欧提勒斯打输了这场官司，那么根据法庭判决，他必须交给我另一半学费(因为这场官司毕竟是因付学费引起)；如果他打赢这场官司，那么，他就打赢了头场官司，根据合同规定，他也必须交给我另一半学费；这场官司，他要么打输，要么打赢；总之，他要交给我另一半学费。
而弟子欧提勒斯则向法庭陈述，自己不交给老师另一半学费，其论点是：
如果我打赢了这场官司，那么根据法庭判决，我不必交一半学费；如果我打输了这场官司，那么根据合同规定，我也不必交另一半学费；这场官司我要么打赢，要么打输；总之，我不必交另一半学费。
师生二人都认为自己的理由非常充分，这真是一个令法官左右为难的官司。在这场官司里，老师普罗泰戈拉认为输了官司能讨回一半学费，赢了官司也能讨回一半学费。换言之，输、赢没有区别，输就是赢，赢就是输，都能讨回另一半学费。学生欧提勒斯的论点与此类似。而输就是赢、赢就是输是不可能的事，换言之，出现了悖论。
这一悖论是怎样出现的呢?原因就在于“打赢头场官司”指向了师生二人因另一半学费而打起的官司，实际上，这一官司不属于“头场官司”。
对于这场官司，难以判决得合情合理。下面是一位律师的见解，应当说是比较出色的。这位律师认为：法庭该判弟子胜诉，也就是不要他交另一半学费，因为他还没有打赢头场官司。这场官司一了结，弟子随即就欠着普罗泰戈拉的债了，所以，普罗泰戈拉该马上回过头来再告弟子一状。这次法庭该判普罗泰戈拉胜诉，因为弟子如今已打赢头场官司。